Dado o plano pi: X=(0,0,1)+h(1,-1,-1)+t(-1,-2,-4) ; h, t in IR e a reta AB , sendo A(0,0,0) e B(1,1,1), determine uma equação do plano alpha que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano pi e é paralelo ao plano beta: x-3=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um plano pi definido por:
pi: X = (0,0,1) + h(1,-1,-1) + t(-1,-2,-4), h, t in R
e uma reta AB com os pontos A(0,0,0) e B(1,1,1). Precisamos determinar a equação de um plano alpha que:
  1. Passa pelo ponto onde a reta AB intercepta o plano pi.
  2. É paralelo ao plano beta: x - 3 = 0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como interseção entre reta e plano, e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta AB. A reta que passa por dois pontos A(x0, y0, z0) e B(x1, y1, z1) pode ser escrita como:
R(s) = A + s(B - A), s in R
No nosso caso:
A(0,0,0), B(1,1,1) Rightarrow B - A = (1,1,1)
Portanto, a equação paramétrica da reta AB é:
R(s) = (0,0,0) + s(1,1,1) = (s, s, s), s in R

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta AB e o plano pi. Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para o parâmetro s.
A equação do plano pi está dada em forma paramétrica. Podemos reescrever como sistema de equações:
x = 0 + h(1) + t(-1) y = 0 + h(-1) + t(-2) z = 1 + h(-1) + t(-4)
Sabemos que na reta AB:
x = s, y = s, z = s
Então, temos:
s = h - t s = -h - 2t s = 1 - h - 4t
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar h, t e s.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. s = h - t  →  h = s + t
  2. s = -h - 2t
    Substituindo h da equação 1 na equação 2:
s = -(s + t) - 2t s = -s - t - 2t s + s + 3t = 0 2s + 3t = 0 Rightarrow t = -23s
Agora, substituímos t na equação 1:
h = s + t = s - 23s = 13s
  1. s = 1 - h - 4t
    Substituindo h e t:
s = 1 - 13s - 4(-23s) s = 1 - 13s + 83s s = 1 + 73s s - 73s = 1 -43s = 1 s = -34

Passo 5

Agora que temos o valor de s, podemos encontrar o ponto de interseção.
Substituindo s = -34 na equação da reta AB:
x = s = -34 y = s = -34 z = s = -34
Portanto, o ponto de interseção é P(-34, -34, -34).

Passo 6

Agora, precisamos determinar a equação do plano alpha que passa por P(-34, -34, -34) e é paralelo ao plano beta: x - 3 = 0.
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O plano beta tem a equação x - 3 = 0, cujo vetor normal é n = (1, 0, 0).
Portanto, o plano alpha também terá vetor normal n = (1, 0, 0).
A equação geral de um plano com vetor normal n = (A, B, C) e passando pelo ponto (x0, y0, z0) é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x + 34) + 0(y + 34) + 0(z + 34) = 0 x + 34 = 0 x = -34

Resposta

A equação do plano alpha é:
x = -34

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