Dado o plano e a reta AB , sendo e , determine uma equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano e é paralelo ao plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um plano definido por:
e uma reta AB com os pontos e . Precisamos determinar a equação de um plano que:
Passa pelo ponto onde a reta AB intercepta o plano .
É paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como interseção entre reta e plano, e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta AB. A reta que passa por dois pontos e pode ser escrita como:
No nosso caso:
Portanto, a equação paramétrica da reta AB é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta AB e o plano . Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para o parâmetro .
A equação do plano está dada em forma paramétrica. Podemos reescrever como sistema de equações:
Sabemos que na reta AB:
x = s, y = s, z = s
Então, temos:
s = h - t s = -h - 2t s = 1 - h - 4t
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar h, t e s.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
s = h - t → h = s + t
s = -h - 2t
Substituindo h da equação 1 na equação 2:
s = -(s + t) - 2t s = -s - t - 2t s + s + 3t = 0 2s + 3t = 0 Rightarrow t = -23s
Agora, substituímos t na equação 1:
h = s + t = s - 23s = 13s
s = 1 - h - 4t
Substituindo h e t:
s = 1 - 13s - 4(-23s) s = 1 - 13s + 83s s = 1 + 73s s - 73s = 1 -43s = 1 s = -34
Passo 5
Agora que temos o valor de s, podemos encontrar o ponto de interseção.
Substituindo s = -34 na equação da reta AB:
x = s = -34 y = s = -34 z = s = -34
Portanto, o ponto de interseção é P(-34, -34, -34).
Passo 6
Agora, precisamos determinar a equação do plano alpha que passa por P(-34, -34, -34) e é paralelo ao plano beta: x - 3 = 0.
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O plano beta tem a equação x - 3 = 0, cujo vetor normal é n = (1, 0, 0).
Portanto, o plano alpha também terá vetor normal n = (1, 0, 0).
A equação geral de um plano com vetor normal n = (A, B, C) e passando pelo ponto (x0, y0, z0) é: