Dado o plano e a reta AB , sendo e , determine uma equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano e é paralelo ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um plano definido por:
e uma reta AB com os pontos e . Precisamos determinar a equação de um plano que:
  1. Passa pelo ponto onde a reta AB intercepta o plano .
  2. É paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como interseção entre reta e plano, e condições de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta AB. A reta que passa por dois pontos e pode ser escrita como:
No nosso caso:
Portanto, a equação paramétrica da reta AB é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta AB e o plano . Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para o parâmetro .
A equação do plano está dada em forma paramétrica. Podemos reescrever como sistema de equações:
Sabemos que na reta AB:
Então, temos:
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1.  → 

  2. Substituindo da equação 1 na equação 2:
Agora, substituímos na equação 1:

  1. Substituindo e :

Passo 5

Agora que temos o valor de , podemos encontrar o ponto de interseção.
Substituindo na equação da reta AB:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora, precisamos determinar a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano .
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O plano tem a equação , cujo vetor normal é .
Portanto, o plano também terá vetor normal .
A equação geral de um plano com vetor normal e passando pelo ponto é:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

b) Encontre uma equação da reta simétrica da reta , em relação ao plano do item a(iii).
Discuta em função de a posição relativa entre as retas:
Sejam os pontos e , e o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de . Verifique se os pontos e pertencem a e se o vetor é paralelo a .
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo: