Dado o plano e a reta AB , sendo e , determine uma equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano e é paralelo ao plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um plano definido por:
e uma reta AB com os pontos e . Precisamos determinar a equação de um plano que:
Passa pelo ponto onde a reta AB intercepta o plano .
É paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como interseção entre reta e plano, e condições de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta AB. A reta que passa por dois pontos e pode ser escrita como:
No nosso caso:
Portanto, a equação paramétrica da reta AB é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta AB e o plano . Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos para o parâmetro .
A equação do plano está dada em forma paramétrica. Podemos reescrever como sistema de equações:
Sabemos que na reta AB:
Então, temos:
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
→
Substituindo da equação 1 na equação 2:
Agora, substituímos na equação 1:
Substituindo e :
Passo 5
Agora que temos o valor de , podemos encontrar o ponto de interseção.
Substituindo na equação da reta AB:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora, precisamos determinar a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano .
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O plano tem a equação , cujo vetor normal é .
Portanto, o plano também terá vetor normal .
A equação geral de um plano com vetor normal e passando pelo ponto é: