b) Encontre uma equação da reta s simétrica da reta t: x-2=y-1=z-3, em relação ao plano do item a(iii).

Passo 1

Então, a gente quer achar a equação da reta que é simétrica da reta em relação a um plano que foi definido no item a(iii). Basicamente, vamos usar conceitos de reflexão de retas em relação a planos para resolver isso. Para isso, vamos precisar conhecer a equação do plano e entender como refletir pontos e vetores nesse plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar um ponto na reta e o vetor diretor dessa reta. Olhando para a equação da reta , podemos ver que o vetor diretor é e um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, vamos supor que a equação do plano do item a(iii) seja . Para refletir a reta em relação a esse plano, precisamos refletir o ponto e o vetor diretor em relação ao plano.

Passo 4

Para refletir o ponto P' = P - 2 cdot axP + byP + czP + da^2 + b^2 + c^2 cdot (a, b, c) em relação ao plano, usamos a fórmula da reflexão de um ponto em relação a um plano:
Substituindo as coordenadas de na f��rmula, obtemos as coordenadas do ponto refletido .

Passo 5

O vetor diretor d' = d - 2 cdot a dx + b dy + c dza^2 + b^2 + c^2 cdot (a, b, c) também precisa ser refletido. Para refletir um vetor em relação a um plano, usamos a fórmula:
Aplicando essa fórmula, encontramos o novo vetor diretor da reta .

Passo 6

Com o ponto refletido s: x - xP'd'x = y - yP'd'y = z - zP'd'z e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Substituindo os valores encontrados, obtemos a equação final da reta .

Resposta

A equação da reta s: x - xP'd'x = y - yP'd'y = z - zP'd'z simétrica da reta em relação ao plano definido no item a(iii) é:
Onde são as coordenadas do ponto refletido e é o vetor diretor refletido.

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