Sejam . Prove as seguintes afirmações
(a) .
(b) Se , então ou 2 .
© Se e , então . Prove que se a afirmação não vale.
(d) e para algum , então e são quadrados perfeitos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos quatro afirmações para provar envolvendo o máximo divisor comum (ou mdc, como a gente chama). O conteúdo principal aqui é Teoria dos Números, mais especificamente propriedades do mdc. Vamos precisar usar definições básicas de mdc e algumas propriedades importantes para resolver cada parte.

Passo 2

Parte (a)

Queremos provar que .
Primeiro, lembre que é o maior número que divide tanto quanto . Se um número divide e também divide , então ele necessariamente divide a diferença entre e , que é . Por isso, o mdc de e divide .

Passo 3

Parte (b)

Precisamos mostrar que se , então é 1 ou 2.
Como o mdc de e é 1, e são coprimos. Agora, considere e . A soma e a diferença de dois números coprimos têm um mdc que pode ser no máximo 2. Isso acontece porque se ambos e forem ímpares, e serão pares, e assim o mdc será 2. Caso contrário, será 1.

Passo 4

Parte ©

Queremos provar que se , e , então . Além disso, mostrar que se , essa afirmação não vale.
Quando e são coprimos, o produto deles divide porque cada um contribui com fatores únicos para . Ou seja, contém todos os fatores de e de , então divide . Porém, se e tiverem um mdc diferente de 1, eles compartham fatores, e o produto pode acabar tendo mais fatores que os realmente necessários para dividir , então a afirmação não se mantém.

Passo 5

Parte (d)

Precisamos mostrar que se e para algum , então e são quadrados perfeitos.
Como e são coprimos e seu produto é um quadrado perfeito, cada um deles precisa ser um quadrado perfeito. Se não fosse, haveria fatores primos que apareceriam apenas em ou apenas em , fazendo com que não fosse um quadrado perfeito a menos que ambos sejam quadrados.

Resposta

A seguir, cada afirmação foi provada mostrando que as propriedades do mdc confirmam as relações propostas:
(a) .
(b) Se , então ou 2.
© Se , e , então . Além disso, se , a afirmação não é válida.
(d) Se e para algum , então e são quadrados perfeitos.

Exercícios relacionados

Mostre que é sempre par para quaisquer .
Na divisão de por o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que e são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de e .
(a) Prove que ! para todo composto.
(b) Prove que .
Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de números ímpares