Sejam
. Prove as seguintes afirmações
(a)
.
(b) Se
, então
ou 2 .
© Se
e
, então
. Prove que se
a afirmação não vale.
(d)
e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
(a)
(b) Se
© Se
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos quatro afirmações para provar envolvendo o máximo divisor comum (ou mdc, como a gente chama). O conteúdo principal aqui é Teoria dos Números, mais especificamente propriedades do mdc. Vamos precisar usar definições básicas de mdc e algumas propriedades importantes para resolver cada parte.
Passo 2
Parte (a)
Queremos provar que
.
Primeiro, lembre que
é o maior número que divide tanto
quanto
. Se um número divide
e também divide
, então ele necessariamente divide a diferença entre
e
, que é
. Por isso, o mdc de
e
divide
.
Passo 3
Parte (b)
Precisamos mostrar que se
, então
é 1 ou 2.
Como o mdc de
e
é 1,
e
são coprimos. Agora, considere
e
. A soma e a diferença de dois números coprimos têm um mdc que pode ser no máximo 2. Isso acontece porque se ambos
e
forem ímpares,
e
serão pares, e assim o mdc será 2. Caso contrário, será 1.
Passo 4
Parte ©
Queremos provar que se
,
e
, então
. Além disso, mostrar que se
, essa afirmação não vale.
Quando
e
são coprimos, o produto deles divide
porque cada um contribui com fatores únicos para
. Ou seja,
contém todos os fatores de
e de
, então
divide
. Porém, se
e
tiverem um mdc diferente de 1, eles compartham fatores, e o produto
pode acabar tendo mais fatores que os realmente necessários para dividir
, então a afirmação não se mantém.
Passo 5
Parte (d)
Precisamos mostrar que se
e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
Como
e
são coprimos e seu produto é um quadrado perfeito, cada um deles precisa ser um quadrado perfeito. Se não fosse, haveria fatores primos que apareceriam apenas em
ou apenas em
, fazendo com que
não fosse um quadrado perfeito a menos que ambos sejam quadrados.
Resposta
A seguir, cada afirmação foi provada mostrando que as propriedades do mdc confirmam as relações propostas:
(a)
.
(b) Se
, então
ou 2.
© Se
,
e
, então
. Além disso, se
, a afirmação não é válida.
(d) Se
e
para algum
, então
e
são quadrados perfeitos.
Exercícios relacionados
Mostre que
é sempre par para quaisquer
.
Na divisão de
por
o quociente é 7 e o resto é o maior possível. Sabendo que
e
são inteiros cuja soma é 116, determine os valores de
e
.
(a) Prove que
! para todo
composto.
(b) Prove que .
(b) Prove que
Discuta a paridade
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de números ímpares
(a) da soma de dois números.
(b) da diferença de dois números.
© do produto de dois números.
(d) da potência de um número.
(e) da soma de