Sejam a, b pertencem a N. Prove as seguintes afirmações
(a) mdc(a, a+b) | b.
(b) Se mdc(a, b) = 1, então mdc(a+b, a-b) = 1 ou 2 .
© Se mdc(a, b) = 1, a | n e b | n, então a b | n. Prove que se mdc(a, b) != 1 a afirmação não vale.
(d) Se mdc(a, b) = 1 e a * b = u^2 para algum u em N, então a e b são quadrados perfeitos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos quatro afirmações para provar envolvendo o máximo divisor comum (ou mdc, como a gente chama). O conteúdo principal aqui é Teoria dos Números, mais especificamente propriedades do mdc. Vamos precisar usar definições básicas de mdc e algumas propriedades importantes para resolver cada parte.

Passo 2

Parte (a)

Queremos provar que mdc(a, a+b) | b.
Primeiro, lembre que é o maior número que divide tanto a quanto a + b. Se um número divide a e também divide a + b, então ele necessariamente divide a diferença entre a + b e a, que é b. Por isso, o mdc de a e a + b divide b.

Passo 3

Parte (b)

Precisamos mostrar que se , então é 1 ou 2.
Como o mdc de a e b é 1, a e b são coprimos. Agora, considere a + b e a - b. A soma e a diferença de dois números coprimos têm um mdc que pode ser no máximo 2. Isso acontece porque se ambos a e b forem ímpares, a + b e a - b serão pares, e assim o mdc será 2. Caso contrário, será 1.

Passo 4

Parte ©

Queremos provar que se , e b | n, então . Além disso, mostrar que se mdc(a, b) != 1, essa afirmação não vale.
Quando a e b são coprimos, o produto deles divide n porque cada um contribui com fatores únicos para n. Ou seja, n contém todos os fatores de a e de b, então divide n. Porém, se a e b tiverem um mdc diferente de 1, eles compartham fatores, e o produto pode acabar tendo mais fatores que os realmente necessários para dividir n, então a afirmação não se mantém.

Passo 5

Parte (d)

Precisamos mostrar que se e para algum u em N, então a e b são quadrados perfeitos.
Como a e b são coprimos e seu produto é um quadrado perfeito, cada um deles precisa ser um quadrado perfeito. Se não fosse, haveria fatores primos que apareceriam apenas em a ou apenas em b, fazendo com que não fosse um quadrado perfeito a menos que ambos sejam quadrados.

Resposta

A seguir, cada afirmação foi provada mostrando que as propriedades do mdc confirmam as relações propostas:
(a) mdc(a, a+b) | b.
(b) Se mdc(a, b) = 1, então mdc(a+b, a-b) = 1 ou 2.
© Se mdc(a, b) = 1, e b | n, então a b | n. Além disso, se mdc(a, b) != 1, a afirmação não é válida.
(d) Se mdc(a, b) = 1 e para algum u em N, então a e b são quadrados perfeitos.

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