Discuta se as questões abaixo são verdadeiras ou falsas, para os itens que julgar falso, encontre um contra-exemplo:
para todo
real
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "
para todo
real". Aqui, estamos trabalhando com o conceito de valor absoluto, que é uma parte importante da matemática. O valor absoluto de um número real
, representado por
, é a distância desse número até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Para resolver essa questão, precisamos entender como o valor absoluto funciona e verificar se a igualdade
é verdadeira para todos os números reais
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa o valor absoluto. Por definição:
- Se
é positivo ou zero, ou seja, , então . - Se
é negativo, ou seja, , então .
Isso significa que o valor absoluto de um número sempre dá um resultado não negativo, independentemente de
ser positivo ou negativo.
Passo 3
Agora, vamos verificar a afirmação "
para todo
real". Pelo que vimos:
- Se
, então , o que torna a afirmação verdadeira para esses valores de . - No entanto, se
, então , que é diferente de porque é negativo e é positivo.
Passo 4
Como a afirmação "
para todo
real" não se mantém verdadeira quando
é negativo, isso significa que a afirmação é falsa.
Passo 5
Para confirmar que a afirmação é falsa, podemos encontrar um contra-exemplo, ou seja, um valor específico de
que faz com que a igualdade não seja satisfeita. Vamos escolher
:
- Calculando
: . - Comparando com
: .
Portanto, para, a igualdade não é verdadeira.
Resposta
A afirmação "
para todo
real" é falsa. Um contra-exemplo é
, pois
.