Discuta a validade do modelo binomial para as variáveis aleatórias mencionadas abaixo:
© 20 estudantes do primeiro ano do ensino médio de escolas diferentes de São Paulo fazem um teste de matemática. Contamos quantos estudantes atingem notas acima de 7 .
© 20 estudantes do primeiro ano do ensino médio de escolas diferentes de São Paulo fazem um teste de matemática. Contamos quantos estudantes atingem notas acima de 7 .
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema onde queremos analisar se o modelo binomial é válido para a situação apresentada. O enunciado diz:
“20 estudantes do primeiro ano do ensino médio de escolas diferentes de São Paulo fazem um teste de matemática. Contamos quantos estudantes atingem notas acima de 7.”
Então, vamos usar conhecimentos de probabilidade discreta, especificamente sobre o modelo binomial, para ver se ele se aplica aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o modelo binomial. Ele é usado para contar o número de “sucessos” em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Para que o modelo binomial seja válido, precisamos verificar quatro condições:
- Número fixo de tentativas: O número de tentativas é conhecido e fixo.
- Tentativas independentes: O resultado de uma tentativa não afeta o resultado das outras.
- Dois resultados possíveis: Cada tentativa resulta em sucesso ou fracasso.
- Probabilidade constante de sucesso: A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas condições à nossa situação:
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Número fixo de tentativas: Estamos considerando 20 estudantes, então temos um número fixo de 20 tentativas. Isso está ok para o modelo binomial.
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Tentativas independentes: Os estudantes são de escolas diferentes, o que ajuda a garantir que o desempenho de um não afete o de outro. Isso sugere que as tentativas são independentes.
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Dois resultados possíveis: Para cada estudante, ou ele alcança uma nota acima de 7 (sucesso) ou não alcança (fracasso). Claramente, são dois resultados possíveis.
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Probabilidade constante de sucesso: Aqui precisamos pensar se a probabilidade de um estudante atingir uma nota acima de 7 é a mesma para todos os 20 estudantes. Supondo que todos tenham a mesma preparação e as condições do teste são iguais, podemos assumir que essa probabilidade é constante.
Passo 4
Se todas essas condições são atendidas, então o modelo binomial é adequado para essa situação. No nosso caso, com 20 estudantes, independente uns dos outros, com dois possíveis resultados e probabilidade constante de sucesso, o modelo binomial se aplica bem.
Resposta
Portanto, o modelo binomial é válido para contar o número de estudantes que atingem notas acima de 7 nesse cenário.