Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , onde é um parâmetro. Nosso objetivo é discutir para quais valores de o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, determinantes e regras para resolver sistemas com parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x - m y + m^2 z = m m x - m^2 y + m z = 1 m x + y - m^3 z = -1
Queremos analisar a solução desse sistema para diferentes valores de .
Passo 3
Para determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única. Se for zero, precisamos analisar mais a fundo.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & -m & m^2 m & -m^2 & m m & 1 & -m^3
Calculando o determinante det(A) = 1 cdot (-m^2 cdot (-m^3) - m cdot 1) - (-m) cdot (m cdot (-m^3) - m cdot m) + m^2 cdot (m cdot 1 - (-m^2) cdot m) :
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 4
Calculando cada parte do determinante:
Primeiro termo:
1 cdot [(-m^2)(-m^3) - m cdot 1] = 1 cdot (m^5 - m) = m^5 - m
Segundo termo:
-(-m) cdot [m cdot (-m^3) - m cdot m] = m cdot (-m^4 - m^2) = m cdot (-m^4 - m^2) = -m^5 - m^3
O determinante . Vamos analisar quando esse determinante é zero:
→ (números imaginários)
Como estamos trabalhando com números reais, consideramos , e onde o determinante é zero. Para , o determinante é diferente de zero.
Passo 7
Caso 1: x = 0 0 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z = 1 (contradição) 0 cdot x + y = -1
O determinante é diferente de zero, então o sistema possui uma solução única.
Caso 2: x - y + z = 1 x - y + z = 1 x + y - z = -1
Substituindo x + y + z = -1 - x - y - z = 1 - x + y + z = -1 no sistema:
çã
A segunda equação se torna , o que é impossível. Portanto, não há solução.
Caso 3:
Substituindo :
As duas primeiras equações são iguais, e a terceira nos dá uma relação adicional. Resolvendo, encontramos que não há consistência, portanto, não há solução.
Caso 4:
Substituindo :
A segunda equação é igual a vezes a primeira, mas a terceira equação não é compatível, resultando em inconsistência. Portanto, não há solução.