Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica , mas a condutividade térmica da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura . Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor para o ambiente a uma temperatura . A temperatura da superfície da barra de alumínio em da base é a mesma que a temperatura da barra do material de condutividade térmica desconhecida a 20 cm da mesma base. Determine a condutividade térmica , da segunda base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida ( ) e outra com condutividade térmica desconhecida ( ). As duas barras têm uma extremidade ligada a uma superfície mantida a uma temperatura e perdem calor por convecção para o ambiente a uma temperatura , com coeficiente de transferência de calor . Sabemos que a temperatura em certos pontos das barras é igual e queremos encontrar . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de equações diferenciais que descrevem a distribuição de temperatura nas barras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura varia ao longo de cada barra. Como as barras são muito longas e finas, podemos considerar que a distribuição de temperatura está em regime permanente, ou seja, não muda com o tempo. A equação que descreve essa situação combina a condução de calor na barra com a perda de calor por convecção para o ambiente:
Aqui, é a temperatura em um ponto ao longo da barra, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, é a condutividade térmica da barra, e é a temperatura do ambiente.

Passo 3

A solução generalizada dessa equação diferencial para um meio semi-infinito (muito longo) com a condição de contorno (temperatura na extremidade acoplada) e (temperatura ambiente) é:
onde . Esse termo nos diz como a temperatura decai ao longo da barra devido à condução e à convecção.

Passo 4

Vamos aplicar essa solução para as duas barras:
  1. Barra de Alumínio ( ):
    Onde .
  2. Barra de Condutividade Desconhecida ( ):
    Onde .

Passo 5

De acordo com o enunciado, a temperatura na barra de alumínio a cm é igual à temperatura na barra desconhecida a cm. Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Como e são os mesmos em ambas as barras, podemos simplificar retirando esses termos:

Passo 6

Agora, vamos eliminar os expoentes aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Retirando os sinais negativos:

Passo 7

Substituindo e pelas suas expressões em termos de e :
Dividindo ambos os lados por 20:

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando eliminando :

Passo 9

Resolvendo para :
Substituindo W/(m·°C):

Resposta

A condutividade térmica da segunda barra é .

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