Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica k1=200 W /(m ^circ C), mas a condutividade térmica k2 da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura T0. Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor hinfty para o ambiente a uma temperatura Tinfty. A temperatura da superfície da barra de alumínio em x1=40 cm da base é a mesma que a temperatura da barra do material de condutividade térmica desconhecida a x2= 20 cm da mesma base. Determine a condutividade térmica k2, da segunda base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida ( k1=200 W/(m·^circC)) e outra com condutividade térmica desconhecida ( k2). As duas barras têm uma extremidade ligada a uma superfície mantida a uma temperatura T0 e perdem calor por convecção para o ambiente a uma temperatura Tinfty, com coeficiente de transferência de calor hinfty. Sabemos que a temperatura em certos pontos das barras é igual e queremos encontrar k2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de equações diferenciais que descrevem a distribuição de temperatura nas barras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura varia ao longo de cada barra. Como as barras são muito longas e finas, podemos considerar que a distribuição de temperatura está em regime permanente, ou seja, não muda com o tempo. A equação que descreve essa situação combina a condução de calor na barra com a perda de calor por convecção para o ambiente:
d^2 Tdx^2 = -hinftyk (T - Tinfty)
Aqui, T é a temperatura em um ponto x ao longo da barra, hinfty é o coeficiente de transferência de calor por convecção, k é a condutividade térmica da barra, e Tinfty é a temperatura do ambiente.

Passo 3

A solução generalizada dessa equação diferencial para um meio semi-infinito (muito longo) com a condição de contorno T(0) = T0 (temperatura na extremidade acoplada) e T(infty) = Tinfty (temperatura ambiente) é:
T(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-m x
onde m = raizhinftyk. Esse termo m nos diz como a temperatura decai ao longo da barra devido à condução e à convecção.

Passo 4

Vamos aplicar essa solução para as duas barras:
  1. Barra de Alumínio ( k1):
    T1(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-m1 x
    Onde m1 = raizhinftyk1.
  2. Barra de Condutividade Desconhecida ( k2):
    T2(x) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-m2 x
    Onde m2 = raizhinftyk2.

Passo 5

De acordo com o enunciado, a temperatura na barra de alumínio a x1 = 40 cm é igual à temperatura na barra desconhecida a x2 = 20 cm. Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-m1 cdot 40 = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-m2 cdot 20
Como Tinfty e T0 são os mesmos em ambas as barras, podemos simplificar retirando esses termos:
e^-m1 cdot 40 = e^-m2 cdot 20

Passo 6

Agora, vamos eliminar os expoentes aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
- m1 cdot 40 = - m2 cdot 20
Retirando os sinais negativos:
m1 cdot 40 = m2 cdot 20

Passo 7

Substituindo m1 e m2 pelas suas expressões em termos de hinfty e k:
raizhinftyk1 cdot 40 = raizhinftyk2 cdot 20
Dividindo ambos os lados por 20:
2 raizhinftyk1 = raizhinftyk2

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
4 ( hinftyk1 ) = hinftyk2
Simplificando eliminando hinfty:
4k1 = 1k2

Passo 9

Resolvendo para k2:
k2 = k14
Substituindo k1 = 200 W/(m·°C):
k2 = 2004 = 50 , W/(m·^circC)

Resposta

A condutividade térmica da segunda barra é k2 = 50 W/(m·^circC).

Exercícios relacionados