Dispõe-se de duas barras cilíndricas muito longas e delgadas de mesmo comprimento. Uma barra é de alumínio e tem condutividade térmica
, mas a condutividade térmica
da outra barra é desconhecida. Para determinar esta condutividade térmica, uma extremidade de cada barra é termicamente acoplada a uma superfície metálica mantida a uma temperatura
. Ambas as barras perdem convectivamente calor, com um coeficiente de transferência de calor
para o ambiente a uma temperatura
. A temperatura da superfície da barra de alumínio em
da base é a mesma que a temperatura da barra do material de condutividade térmica desconhecida a
20 cm da mesma base. Determine a condutividade térmica
, da segunda base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas barras cilíndricas bem longas e finas, uma de alumínio com condutividade térmica conhecida (
) e outra com condutividade térmica desconhecida (
). As duas barras têm uma extremidade ligada a uma superfície mantida a uma temperatura
e perdem calor por convecção para o ambiente a uma temperatura
, com coeficiente de transferência de calor
. Sabemos que a temperatura em certos pontos das barras é igual e queremos encontrar
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de equações diferenciais que descrevem a distribuição de temperatura nas barras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura varia ao longo de cada barra. Como as barras são muito longas e finas, podemos considerar que a distribuição de temperatura está em regime permanente, ou seja, não muda com o tempo. A equação que descreve essa situação combina a condução de calor na barra com a perda de calor por convecção para o ambiente:
Aqui,
é a temperatura em um ponto
ao longo da barra,
é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
é a condutividade térmica da barra, e
é a temperatura do ambiente.
Passo 3
A solução generalizada dessa equação diferencial para um meio semi-infinito (muito longo) com a condição de contorno
(temperatura na extremidade acoplada) e
(temperatura ambiente) é:
onde
. Esse termo
nos diz como a temperatura decai ao longo da barra devido à condução e à convecção.
Passo 4
Vamos aplicar essa solução para as duas barras:
-
Barra de Alumínio (
): Onde. -
Barra de Condutividade Desconhecida (
): Onde.
Passo 5
De acordo com o enunciado, a temperatura na barra de alumínio a
cm é igual à temperatura na barra desconhecida a
cm. Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Como
e
são os mesmos em ambas as barras, podemos simplificar retirando esses termos:
Passo 6
Agora, vamos eliminar os expoentes aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Retirando os sinais negativos:
Passo 7
Substituindo
e
pelas suas expressões em termos de
e
:
Dividindo ambos os lados por 20:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando eliminando
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Substituindo
W/(m·°C):
Resposta
A condutividade térmica da segunda barra é
.
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