Um dispositivo é constituído de três elementos independentes que podem falhar numa experiência com probabilidade de 0,1 . Determine a função densidade de probabilidade da v.a. X que representa o número de elementos que falham numa experiência.
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dispositivo com três elementos independentes que podem falhar durante uma experiência. A probabilidade de falha de cada elemento é de 0,1 (ou 10%). Nosso objetivo é determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória, que representa o número de elementos que falham nessa experiência.
Conteúdo da matéria envolvido: Probabilidade binomial. Vamos precisar entender como calcular as probabilidades de diferentes números de falhas usando essa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma variável aleatória. Nesse caso, pode representar o número de elementos que falham, então os possíveis valores que pode assumir são 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
A situação descrita se encaixa na distribuição binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, os três elementos), cada uma com duas possíveis resultados (falha ou não falha), e a probabilidade de sucesso (falha) é a mesma em cada tentativa.
Fórmula da distribuiç��o binomial:
Onde:
é o número total de tentativas (3 elementos),
é o número de sucessos desejados (número de falhas),
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,1),
é o coeficiente binomial, calculado como .
Passo 4
Vamos calcular para cada possível valor de (0, 1, 2, 3).
Para : Nenhum elemento falha.
Para : Um elemento falha.
Para : Dois elementos falham.
Para : Todos os três elementos falham.
Passo 5
Agora, juntando todas essas probabilidades, temos a função densidade de probabilidade de :
Resposta
A função densidade de probabilidade da variável aleatória é: