Um dispositivo é constituído de três elementos independentes que podem falhar numa experiência com probabilidade de 0,1 . Determine a função densidade de probabilidade da v.a. X que representa o número de elementos que falham numa experiência.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dispositivo com três elementos independentes que podem falhar durante uma experiência. A probabilidade de falha de cada elemento é de 0,1 (ou 10%). Nosso objetivo é determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de elementos que falham nessa experiência.
Conteúdo da matéria envolvido: Probabilidade binomial. Vamos precisar entender como calcular as probabilidades de diferentes números de falhas usando essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma variável aleatória . Nesse caso, pode representar o número de elementos que falham, então os possíveis valores que pode assumir são 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

A situação descrita se encaixa na distribuição binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, os três elementos), cada uma com duas possíveis resultados (falha ou não falha), e a probabilidade de sucesso (falha) é a mesma em cada tentativa.
Fórmula da distribuiç��o binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (3 elementos),
  • é o número de sucessos desejados (número de falhas),
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,1),
  • é o coeficiente binomial, calculado como .

Passo 4

Vamos calcular P(X = 0) = binom30 (0,1)^0 (0,9)^3 = 1 times 1 times 0,729 = 0,729 para cada possível valor de P(X = 1) = binom31 (0,1)^1 (0,9)^2 = 3 times 0,1 times 0,81 = 0,243 (0, 1, 2, 3).
  1. Para P(X = 2) = binom32 (0,1)^2 (0,9)^1 = 3 times 0,01 times 0,9 = 0,027 : Nenhum elemento falha.
P(X = 3) = binom33 (0,1)^3 (0,9)^0 = 1 times 0,001 times 1 = 0,001
  1. Para : Um elemento falha.
  1. Para : Dois elementos falham.
  1. Para : Todos os três elementos falham.

Passo 5

Agora, juntando todas essas probabilidades, temos a função densidade de probabilidade de P(X = 0) = 0,729 P(X = 1) = 0,243 P(X = 2) = 0,027 P(X = 3) = 0,001 :

Resposta

A função densidade de probabilidade da variável aleatória P(X = 0) = 0,729 P(X = 1) = 0,243 P(X = 2) = 0,027 P(X = 3) = 0,001 é:

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