A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
& f(x)= ax ; 0 <= x <= 1 & a(x+1) ; 1 <= x <= 2 & 0 ; сс Determine: a) o valor de a ; b) F(x) сс

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes, e precisamos encontrar:
a) O valor de .
b) A função de distribuição acumulada .
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, especificamente sobre funções densidade e distribuição acumulada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade. Ela precisa satisfazer duas condições:
  1. f(x) = a x & se 0 <= x <= 1 a (x + 1) & se 1 <= x <= 2 0 & caso contrário para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.
No nosso caso, a função é dada por:
á
A gente precisa usar a segunda condição para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral0^2 f(x) , dx = 1 de 0 a 2 e igualar a 1:
integral0^1 a x , dx + integral1^2 a (x + 1) , dx = 1
Como é definido por partes, vamos dividir a integral:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 a x , dx = a [ x^22 ]0^1 = a ( 12 - 0 ) = a2
Segunda integral:
integral1^2 a (x + 1) , dx = a [ x^22 + x ]1^2
Calculando nos limites:
Para 2^22 + 2 = 2 + 2 = 4 :
1^22 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5
Para a (4 - 1.5) = a times 2.5 = 5a2 :
Então:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
a2 + 5a2 = 1
6a2 = 1 implies 3a = 1 implies a = 13

Passo 6

Agora que encontramos F(x) = integral-infty^x f(t) , dt , vamos para a parte b), que é encontrar a função de distribuição acumulada .
A função de distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como fora de [0,2], podemos ajustar os limites.

Passo 7

Vamos dividir em casos, conforme o valor de F(x) = 0 :
  1. Para F(x) = integral0^x 13 t , dt = 13 [ t^22 ]0^x = 13 cdot x^22 = x^26 :
    F(x) = integral0^1 13 t , dt + integral1^x 13 (t + 1) , dt
  2. Para x^26 g|0^1 = 16 :
    13 [ t^22 + t ]1^x = 13 ( x^22 + x - ( 12 + 1 ) ) = 13 ( x^22 + x - 32 )
  3. Para x^26 + x3 - 12 :
    16 + x^26 + x3 - 12 = x^2 + x cdot 26 - 13 = x^2 + 2x6 - 13
    Já calculamos a primeira parte:
    F(x) = x^2 + 2x6
    Agora, a segunda integral:
    F(x) = 1
    Simplificando:
    Somando com a primeira parte:
    Finalmente:
  4. Para :

Resposta

a) O valor de F(x) = 0 & se x < 0 x^26 & se 0 <= x <= 1 x^2 + 2x6 & se 1 < x <= 2 1 & se x > 2 é .
b) A função de distribuição acumulada é dada por:

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