A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
сс

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes, e precisamos encontrar:
a) O valor de .
b) A função de distribuição acumulada .
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, especificamente sobre funções densidade e distribuição acumulada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade. Ela precisa satisfazer duas condições:
  1. para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio é igual a 1.
No nosso caso, a função é dada por:
á
A gente precisa usar a segunda condição para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a integral de de 0 a 2 e igualar a 1:
Como é definido por partes, vamos dividir a integral:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos para a parte b), que é encontrar a função de distribuição acumulada .
A função de distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como fora de [0,2], podemos ajustar os limites.

Passo 7

Vamos dividir em casos, conforme o valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
    Já calculamos a primeira parte:
    Agora, a segunda integral:
    Simplificando:
    Somando com a primeira parte:
    Finalmente:
  4. Para :

Resposta

a) O valor de é .
b) A função de distribuição acumulada é dada por:

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A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade . Determine k .
A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X 0 1 2 3 4
1
Um dispositivo é constituído de três elementos independentes que podem falhar numa experiência com probabilidade de 0,1 . Determine a função densidade de probabilidade da v.a. X que representa o número de elementos que falham numa experiência.
Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta. Determine:
a) A função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y);
b) A função densidade de probabilidade marginal e a função distribuição de probabilidade marginal de Y;