A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade
definida por partes, e precisamos encontrar:
a) O valor de
.
b) A função de distribuição acumulada
.
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, especificamente sobre funções densidade e distribuição acumulada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade. Ela precisa satisfazer duas condições:
-
para todo . - A integral de
em todo o seu domínio é igual a 1.
No nosso caso, a função
é dada por:
A gente precisa usar a segunda condição para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
integral0^2 f(x) , dx = 1 de 0 a 2 e igualar a 1:
Como
é definido por partes, vamos dividir a integral:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Calculando nos limites:
Para
2^22 + 2 = 2 + 2 = 4 :
Para
a (4 - 1.5) = a times 2.5 = 5a2 :
Então:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
Passo 6
Agora que encontramos
F(x) = integral-infty^x f(t) , dt , vamos para a parte b), que é encontrar a função de distribuição acumulada
.
A função de distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como
fora de [0,2], podemos ajustar os limites.
Passo 7
Vamos dividir em casos, conforme o valor de
F(x) = 0 :
-
Para
:F(x) = integral0^x 13 t , dt = 13 [ t^22 ]0^x = 13 cdot x^22 = x^26 F(x) = integral0^1 13 t , dt + integral1^x 13 (t + 1) , dt -
Para
:x^26 g|0^1 = 16 13 [ t^22 + t ]1^x = 13 ( x^22 + x - ( 12 + 1 ) ) = 13 ( x^22 + x - 32 ) -
Para
:x^26 + x3 - 12 16 + x^26 + x3 - 12 = x^2 + x cdot 26 - 13 = x^2 + 2x6 - 13 Já calculamos a primeira parte:F(x) = x^2 + 2x6 Agora, a segunda integral:F(x) = 1 Simplificando:Somando com a primeira parte:Finalmente: -
Para
:
Resposta
a) O valor de
F(x) = 0 & se x < 0 x^26 & se 0 <= x <= 1 x^2 + 2x6 & se 1 < x <= 2 1 & se x > 2 é
.
b) A função de distribuição acumulada
é dada por: