A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade
definida por partes, e precisamos encontrar:
a) O valor de
.
b) A função de distribuição acumulada
.
Para isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, especificamente sobre funções densidade e distribuição acumulada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade. Ela precisa satisfazer duas condições:
-
para todo . - A integral de
em todo o seu domínio é igual a 1.
No nosso caso, a função
é dada por:
A gente precisa usar a segunda condição para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
de 0 a 2 e igualar a 1:
Como
é definido por partes, vamos dividir a integral:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos para a parte b), que é encontrar a função de distribuição acumulada
.
A função de distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como
fora de [0,2], podemos ajustar os limites.
Passo 7
Vamos dividir em casos, conforme o valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:Já calculamos a primeira parte:Agora, a segunda integral:Simplificando:Somando com a primeira parte:Finalmente: -
Para
:
Resposta
a) O valor de
é
.
b) A função de distribuição acumulada
é dada por:
Exercícios relacionados
A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade
. Determine k .
A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
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1 |
Um dispositivo é constituído de três elementos independentes que podem falhar numa experiência com probabilidade de 0,1 . Determine a função densidade de probabilidade da v.a. X que representa o número de elementos que falham numa experiência.
Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta. Determine:
a) A função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y);
b) A função densidade de probabilidade marginal e a função distribuição de probabilidade marginal de Y;
a) A função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y);
b) A função densidade de probabilidade marginal e a função distribuição de probabilidade marginal de Y;