Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta. Determine:
a) A função densidade de probabilidade conjunta de (X,Y);
b) A função densidade de probabilidade marginal e a função distribuição de probabilidade marginal de Y;
Passo 1
Beleza, vamos ver o que você me pediu aqui. Temos uma gaveta com 4 canetas azuis e 3 pretas, totalizando 7 canetas. A gente vai tirar duas canetas, uma de cada vez, sem colocar de volta. Definimos as variáveis aleatórias como a quantidade de canetas azuis retiradas e como a quantidade de canetas pretas retiradas. A questão tem duas partes:
a) Encontrar a função de densidade de probabilidade conjunta de ;
b) Encontrar as funções de densidade de probabilidade marginal e a função de distribuição de probabilidade marginal de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possíveis combinações de canetas que podemos tirar. Como estamos tirando duas canetas sem reposição, as possíveis combinações de são:
: duas canetas azuis.
: uma caneta azul e uma preta.
: duas canetas pretas.
Essas são as únicas combinações possíveis porque estamos tirando exatamente duas canetas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação.
Total de maneiras de tirar 2 canetas de 7:
Usamos a combinação para isso: maneiras.
Probabilidade de :
Estamos tirando duas canetas azuis. Há 4 azuis na gaveta.
Número de maneiras de tirar 2 azuis: .
Então, a probabilidade é .
Probabilidade de :
Estamos tirando uma azul e uma preta.
Número de maneiras de tirar 1 azul e 1 preta: .
Então, a probabilidade é .
Probabilidade de :
Estamos tirando duas pretas.
Número de maneiras de tirar 2 pretas: .
Então, a probabilidade é .
Passo 4
Agora que já temos as probabilidades de cada combinação, podemos montar a função de densidade de probabilidade conjunta de .
A função conjunta é definida para cada par e dá a probabilidade de ocorrer aquele par específico.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar as funções de densidade de probabilidade marginal de fY(0) = fX,Y(2,0) = 27 e a função de distribuição de probabilidade marginal de fY(1) = fX,Y(1,1) = 47 .
Função de densidade marginal de fY(2) = fX,Y(0,2) = 17 :
A densidade marginal de fY(y) = 27, & se y = 0 47, & se y = 1 17, & se y = 2 0, & caso contrário é obtida somando as probabilidades conjuntas sobre todos os possíveis valores de FY(y) = 0 para cada valor fixo de FY(y) = fY(0) = 27 .
Para FY(y) = fY(0) + fY(1) = 27 + 47 = 67 :
FY(y) = fY(0) + fY(1) + fY(2) = 27 + 47 + 17 = 1
Para FY(y) = 0, & se y < 0 27, & se 0 <= y < 1 67, & se 1 <= y < 2 1, & se y >= 2 :
Para :
Então, a função de densidade marginal de é:
á
Função de distribuição de probabilidade marginal de :
A função de distribuição acumulada dá a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, a função de distribuição de probabilidade marginal de é:
Resposta
a) A função densidade de probabilidade conjunta de fX,Y(x,y) = 27, & se (x, y) = (2, 0) 47, & se (x, y) = (1, 1) 17, & se (x, y) = (0, 2) 0, & caso contrário é:
fY(y) = 27, & se y = 0 47, & se y = 1 17, & se y = 2 0, & caso contrário á
b) A função densidade de probabilidade marginal de FY(y) = 0, & se y < 0 27, & se 0 <= y < 1 67, & se 1 <= y < 2 1, & se y >= 2 é:
á
E a função de distribuição de probabilidade marginal de é: