Distância interplanar. Considere um plano de uma rede cristalina.
Mostre que o vetor da rede recíproca é perpendicular a este plano.

Passo 1

Vamos entender qual é a questão que precisamos resolver. Temos um plano identificado por índices de Miller em uma rede cristalina. A tarefa é demonstrar que o vetor , que pertence à rede recíproca, é perpendicular a esse plano. Para fazer isso, vamos precisar conhecer os conceitos de redes cristalinas, redes recíprocas e como determinar a perpendicularidade entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma rede recíproca. Em cristalografia, para cada rede cristalina direta, existe uma rede recíproca onde os vetores de base , , são definidos de maneira que obedecem a certas relações com os vetores da rede direta , , . A rede recíproca é útil para analisar propriedades como a difração de raios X.

Passo 3

Agora, vamos considerar o plano . Em redes cristalinas, os índices de Miller descrevem a orientação de um plano específico na rede. Esses índices são inversamente relacionados às interseções do plano com os eixos da rede direta.

Passo 4

Para provar que o vetor é perpendicular ao plano , precisamos mostrar que o produto escalar entre e qualquer vetor no plano é igual a zero. Isso implica que é normal (perpendicular) ao plano.

Passo 5

Vamos matematicamente expressar isso. Seja um vetor qualquer pertencente ao plano . Portanto, pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da rede direta:
onde , , são escalares que parametrizeiam o vetor no plano.

Passo 6

O produto escalar entre e é dado por:

Passo 7

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, expandimos a expressão:

Passo 8

Sabemos que na rede recíproca, os vetores satisfazem:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 9

Aplicando essa relação, todas as expressões com desaparecem:

Passo 10

Para que seja perpendicular ao plano, o produto escalar deve ser igual a zero:

Passo 11

Isso implica que:
O que significa que qualquer vetor no plano satisfaz essa relação, confirmando que é perpendicular ao plano.

Resposta

Portanto, demonstramos que o vetor é perpendicular ao plano na rede cristalina.

Exercícios relacionados

Distância interplanar. Considere um plano de uma rede cristalina.
Mostre que a distância entre dois planos paralelos adjacentes da rede é dada por .
Distância interplanar. Considere um plano de uma rede cristalina.
Mostre que para uma rede cúbica simples
Descreva a primeira zona de Brillouin e consulte em sites ( pode ser IA, coloque a referencia) a configuração desta rede para uma estrutura hexagonal e Cubica.
Determine os ângulos que a radiação difratada pode fazer com a incidente, numa experiência de difração de raios-X com comprimento de onda , incidindo numa rede cúbica simples, com parâmetro .