Distância interplanar. Considere um plano
de uma rede cristalina.
Mostre que o vetor
da rede recíproca é perpendicular a este plano.
Mostre que o vetor
Passo 1
Vamos entender qual é a questão que precisamos resolver. Temos um plano identificado por índices de Miller
em uma rede cristalina. A tarefa é demonstrar que o vetor
, que pertence à rede recíproca, é perpendicular a esse plano. Para fazer isso, vamos precisar conhecer os conceitos de redes cristalinas, redes recíprocas e como determinar a perpendicularidade entre vetores e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma rede recíproca. Em cristalografia, para cada rede cristalina direta, existe uma rede recíproca onde os vetores de base
,
,
são definidos de maneira que obedecem a certas relações com os vetores da rede direta
,
,
. A rede recíproca é útil para analisar propriedades como a difração de raios X.
Passo 3
Agora, vamos considerar o plano
. Em redes cristalinas, os índices de Miller
descrevem a orientação de um plano específico na rede. Esses índices são inversamente relacionados às interseções do plano com os eixos da rede direta.
Passo 4
Para provar que o vetor
é perpendicular ao plano
, precisamos mostrar que o produto escalar entre
e qualquer vetor no plano é igual a zero. Isso implica que
é normal (perpendicular) ao plano.
Passo 5
Vamos matematicamente expressar isso. Seja
um vetor qualquer pertencente ao plano
. Portanto,
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da rede direta:
onde
,
,
são escalares que parametrizeiam o vetor no plano.
Passo 6
O produto escalar entre
e
é dado por:
Passo 7
Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, expandimos a expressão:
Passo 8
Sabemos que na rede recíproca, os vetores
satisfazem:
onde
é o delta de Kronecker, que é 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 9
Aplicando essa relação, todas as expressões com
desaparecem:
Passo 10
Para que
seja perpendicular ao plano, o produto escalar
deve ser igual a zero:
Passo 11
Isso implica que:
O que significa que qualquer vetor
no plano
satisfaz essa relação, confirmando que
é perpendicular ao plano.
Resposta
Portanto, demonstramos que o vetor
é perpendicular ao plano
na rede cristalina.
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