Distância interplanar. Considere um plano h k l de uma rede cristalina.
Mostre que o vetor G=h b1+k b2+l b3 da rede recíproca é perpendicular a este plano.

Passo 1

Vamos entender qual é a questão que precisamos resolver. Temos um plano identificado por índices de Miller (h,k,l) em uma rede cristalina. A tarefa é demonstrar que o vetor G = h,b1 + k,b2 + l,b3, que pertence à rede recíproca, é perpendicular a esse plano. Para fazer isso, vamos precisar conhecer os conceitos de redes cristalinas, redes recíprocas e como determinar a perpendicularidade entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma rede recíproca. Em cristalografia, para cada rede cristalina direta, existe uma rede recíproca onde os vetores de base b1, b2, b3 são definidos de maneira que obedecem a certas relações com os vetores da rede direta a1, a2, a3. A rede recíproca é útil para analisar propriedades como a difração de raios X.

Passo 3

Agora, vamos considerar o plano (h,k,l). Em redes cristalinas, os índices de Miller (h,k,l) descrevem a orientação de um plano específico na rede. Esses índices são inversamente relacionados às interseções do plano com os eixos da rede direta.

Passo 4

Para provar que o vetor G é perpendicular ao plano (h,k,l), precisamos mostrar que o produto escalar entre G e qualquer vetor no plano é igual a zero. Isso implica que G é normal (perpendicular) ao plano.

Passo 5

Vamos matematicamente expressar isso. Seja r um vetor qualquer pertencente ao plano (h,k,l). Portanto, r pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da rede direta:
r = u,a1 + v,a2 + w,a3
onde u, v, w são escalares que parametrizeiam o vetor no plano.

Passo 6

O produto escalar entre G e r é dado por:
G cdot r = (h,b1 + k,b2 + l,b3) cdot (u,a1 + v,a2 + w,a3)

Passo 7

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, expandimos a expressão:
G cdot r = h,u,(b1 cdot a1) + h,v,(b1 cdot a2) + h,w,(b1 cdot a3) + k,u,(b2 cdot a1) + k,v,(b2 cdot a2) + k,w,(b2 cdot a3) + l,u,(b3 cdot a1) + l,v,(b3 cdot a2) + l,w,(b3 cdot a3)

Passo 8

Sabemos que na rede recíproca, os vetores bi satisfazem:
bi cdot aj = 2pi,de
onde de é o delta de Kronecker, que é 1 quando i=j e 0 caso contrário.

Passo 9

Aplicando essa relação, todas as expressões com i neq j desaparecem:
G cdot r = h,u,2pi,de

Passo 10

Para que G seja perpendicular ao plano, o produto escalar G cdot r deve ser igual a zero:
2pi,(h,u + k,v + l,w) = 0

Passo 11

Isso implica que:
h,u + k,v + l,w = 0
O que significa que qualquer vetor r no plano (h,k,l) satisfaz essa relação, confirmando que G é perpendicular ao plano.

Resposta

Portanto, demonstramos que o vetor G = h,b1 + k,b2 + l,b3 é perpendicular ao plano (h,k,l) na rede cristalina.

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