Distância interplanar. Considere um plano de uma rede cristalina.
Mostre que para uma rede cúbica simples

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre distância interplanar em uma rede cristalina cúbica simples. A gente precisa mostrar que para um plano definido pelos índices de Miller , a distância entre os planos é dada por:
Aqui, é o parâmetro da rede (o tamanho da aresta da célula unitária), e , , são os índices de Miller que definem o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os índices de Miller . Eles são números inteiros que indicam a orientação de um plano cristalino em uma rede. Esses índices são inversos dos interceptos do plano com os eixos cristalográficos.

Passo 3

Em uma rede cúbica simples, as células unitárias são cubos com aresta de comprimento . Os planos vão interceptar os eixos em pontos , assumindo que , , não são zero.

Passo 4

A distância interplanar é a menor distância entre dois planos paralelos consecutivos na rede. Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula que relaciona os índices de Miller e o parâmetro da rede.

Passo 5

A fórmula para a distância interplanar em uma rede cúbica simples é:
Essa fórmula vem da geometria do cristal e da definição dos índices de Miller. Ela calcula a distância com base na orientação do plano em relação aos eixos da rede.

Passo 6

Agora, para chegar na expressão pedida pelo enunciado, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
E pronto! Mostramos que a distância interplanar ao quadrado é igual a dividido pela soma dos quadrados dos índices de Miller.

Resposta

Assim, demonstramos que para uma rede cúbica simples, a distância interplanar é:

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