Distância interplanar. Considere um plano
de uma rede cristalina.
Mostre que para uma rede cúbica simples
Mostre que para uma rede cúbica simples
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre distância interplanar em uma rede cristalina cúbica simples. A gente precisa mostrar que para um plano definido pelos índices de Miller
, a distância entre os planos é dada por:
Aqui,
é o parâmetro da rede (o tamanho da aresta da célula unitária), e
,
,
são os índices de Miller que definem o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os índices de Miller
. Eles são números inteiros que indicam a orientação de um plano cristalino em uma rede. Esses índices são inversos dos interceptos do plano com os eixos cristalográficos.
Passo 3
Em uma rede cúbica simples, as células unitárias são cubos com aresta de comprimento
. Os planos
vão interceptar os eixos em pontos
, assumindo que
,
,
não são zero.
Passo 4
A distância interplanar
é a menor distância entre dois planos paralelos consecutivos na rede. Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula que relaciona os índices de Miller e o parâmetro da rede.
Passo 5
A fórmula para a distância interplanar em uma rede cúbica simples é:
Essa fórmula vem da geometria do cristal e da definição dos índices de Miller. Ela calcula a distância com base na orientação do plano
em relação aos eixos da rede.
Passo 6
Agora, para chegar na expressão pedida pelo enunciado, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
E pronto! Mostramos que a distância interplanar ao quadrado é igual a
dividido pela soma dos quadrados dos índices de Miller.
Resposta
Assim, demonstramos que para uma rede cúbica simples, a distância interplanar é:
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.
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