A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de haver duas patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que a distância entre patrulhas numa auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km. Precisamos calcular a probabilidade de ter exatamente duas patrulhas em uma extensão de 10 km. Vamos usar conceitos de Distribuição Exponencial e Distribuição de Poisson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando as distâncias entre eventos (no caso, patrulhas) seguem uma distribuição exponencial, isso indica que os eventos acontecem de forma aleatória ao longo da estrada. A distribuição de Poisson é perfeita para modelar o número de eventos em um intervalo fixo quando os eventos são independentes e ocorrem com uma taxa constante.

Passo 3

A distribuição de Poisson tem um parâmetro lambda = 15 patrulhas por km que representa a taxa média de ocorrência por unidade de intervalo. Como a média da distância entre patrulhas é 5 km, a taxa é o inverso disso:

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de ter 2 patrulhas em 10 km. Para isso, calculamos o parâmetro da distribuição de Poisson para 10 km:
lambda times T = 15 times 10 = 2
Então, .

Passo 5

A fórmula da distribuição de Poisson para exatamente P(k) = e^-lambda T (lambda T)^kk! eventos é:
P(2) = e^-2 times 2^22! = e^-2 times 42 = 2e^-2
Substituindo os valores:

Resposta

A probabilidade de haver duas patrulhas em uma extensão de 10 km é , aproximadamente 0,2707 ou 27,07%.

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