A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de haver duas patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?
Qual é a probabilidade de haver duas patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala que a distância entre patrulhas numa auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km. Precisamos calcular a probabilidade de ter exatamente duas patrulhas em uma extensão de 10 km. Vamos usar conceitos de Distribuição Exponencial e Distribuição de Poisson para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando as distâncias entre eventos (no caso, patrulhas) seguem uma distribuição exponencial, isso indica que os eventos acontecem de forma aleatória ao longo da estrada. A distribuição de Poisson é perfeita para modelar o número de eventos em um intervalo fixo quando os eventos são independentes e ocorrem com uma taxa constante.
Passo 3
A distribuição de Poisson tem um parâmetro
que representa a taxa média de ocorrência por unidade de intervalo. Como a média da distância entre patrulhas é 5 km, a taxa
é o inverso disso:
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de ter 2 patrulhas em 10 km. Para isso, calculamos o parâmetro da distribuição de Poisson para 10 km:
Então,
.
Passo 5
A fórmula da distribuição de Poisson para exatamente
eventos é:
Substituindo os valores:
Resposta
A probabilidade de haver duas patrulhas em uma extensão de 10 km é
, aproximadamente 0,2707 ou 27,07%.