A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km , a partir da primeira patrulha?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a distância entre patrulhas em uma autoestrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km. A pergunta é: qual a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha?
Aqui, vamos usar conhecimentos de probabilidades associadas à distribuição exponencial e à distribuição de Erlang (que é uma generalização para múltiplos eventos na distribuição exponencial).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A média dessa distribuição é dada por:
é
Onde é a taxa de ocorrência dos eventos. Aqui, a média é 5 km, então podemos encontrar :

Passo 3

Como estamos interessados na segunda patrulha, precisamos usar a distribuição Gamma ou Erlang, que é usada para o somatório de variáveis aleatórias exponenciais. Para a segunda patrulha, o parâmetro é 2.
A função de densidade da distribuição Erlang é:
Para :

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km. Isso significa calcular a integral da função de densidade de a :

Passo 5

Vamos substituir na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
Usamos integração por partes, onde:
  • , então
  • , então
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Voltando à probabilidade:
Calculando os limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

A probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha é aproximadamente 10,88%.

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