A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km , a partir da primeira patrulha?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a distância entre patrulhas em uma autoestrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km. A pergunta é: qual a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha?
Aqui, vamos usar conhecimentos de probabilidades associadas à distribuição exponencial e à distribuição de Erlang (que é uma generalização para múltiplos eventos na distribuição exponencial).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A média dessa distribuição é dada por:
Onde é a taxa de ocorrência dos eventos. Aqui, a média é 5 km, então podemos encontrar :
Passo 3
Como estamos interessados na segunda patrulha, precisamos usar a distribuição Gamma ou Erlang, que é usada para o somatório de variáveis aleatórias exponenciais. Para a segunda patrulha, o parâmetro é 2.
A função de densidade da distribuição Erlang é:
Para :
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km. Isso significa calcular a integral da função de densidade de a :
Passo 5
Vamos substituir na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Usamos integração por partes, onde:
, então
, então
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Voltando à probabilidade:
Calculando os limites:
Para :
Para :
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha é aproximadamente 10,88%.