A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km , a partir da primeira patrulha?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a distância entre patrulhas em uma autoestrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km. A pergunta é: qual a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha?
Aqui, vamos usar conhecimentos de probabilidades associadas à distribuição exponencial e à distribuição de Erlang (que é uma generalização para múltiplos eventos na distribuição exponencial).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A média dessa distribuição é dada por:
Média = 1lambda é
Onde lambda = 15 , km^-1 é a taxa de ocorrência dos eventos. Aqui, a média é 5 km, então podemos encontrar :

Passo 3

Como estamos interessados na segunda patrulha, precisamos usar a distribuição Gamma ou Erlang, que é usada para o somatório de variáveis aleatórias exponenciais. Para a segunda patrulha, o parâmetro f(x; k, lambda) = lambda^k x^k-1 e^-lambda x(k-1)! é 2.
A função de densidade da distribuição Erlang é:
f(x; 2, lambda) = lambda^2 x e^-lambda x
Para :

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km. Isso significa calcular a integral da função de densidade de P(12 <= X <= 15) = integral12^15 lambda^2 x e^-lambda x dx a :

Passo 5

Vamos substituir P(12 <= X <= 15) = integral12^15 (15)^2 x e^-x5 dx na integral:
P(12 <= X <= 15) = 125 integral12^15 x e^-x5 dx
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
integral x e^-x5 dx
Usamos integração por partes, onde:
  • integral x e^-x5 dx = -5x e^-x5 + 5 integral e^-x5 dx = -5x e^-x5 - 25 e^-x5 + C , então
  • , então
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Voltando à probabilidade:
P(12 <= X <= 15) = 125 [ ( -5x e^-x5 - 25 e^-x5 ) |12^15 ]
Calculando os limites:
Para -5(15) e^-3 - 25 e^-3 = -75 e^-3 - 25 e^-3 = -100 e^-3 :
-5(12) e^-2.4 - 25 e^-2.4 = -60 e^-2.4 - 25 e^-2.4 = -85 e^-2.4
Para P(12 <= X <= 15) = 125 ( -100 e^-3 + 85 e^-2.4 ) :
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que:
e^-3 approx 0.0498 e e^-2.4 approx 0.0907
Substituindo:
P(12 <= X <= 15) = 125 ( -100 times 0.0498 + 85 times 0.0907 )
P(12 <= X <= 15) = 125 ( -4.98 + 7.6995 ) = 125 times 2.7195 approx 0.10878

Resposta

A probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15 km a partir da primeira patrulha é aproximadamente 10,88%.

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