Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com lambda=2. Determine:
P(1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro . Queremos determinar a probabilidade de estar entre 1 e 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a função de distribuição acumulada da distribuição exponencial.

Passo 2

A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
fX(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
Onde é a taxa de ocorrência do evento. No nosso caso, .

Passo 3

Para encontrar a probabilidade FX(x) = 1 - e^-lambda x , podemos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial, que é:
P(1 < X < 2) = FX(2) - FX(1) = (1 - e^-2 times 2) - (1 - e^-2 times 1)
A probabilidade de estar entre 1 e 2 é a diferença entre a CDF em 2 e a CDF em 1:

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
FX(2) = 1 - e^-4 approx 1 - 0,0183 = 0,9817
FX(1) = 1 - e^-2 approx 1 - 0,1353 = 0,8647
Agora, a diferença entre elas:
P(1 < X < 2) = 0,9817 - 0,8647 = 0,1170

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2 é aproximadamente ou 11,7%.

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