Uma fábrica de autopeças realiza inspeção de qualidade nas peças produzidas. Sabe-se que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é p=0.02. Suponha que 10 peças sejam inspecionadas.
(b) Se as inspeções continuam até encontrar a primeira peça defeituosa, qual é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja encontrada na 5^ a inspeção?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica que produz autopeças, e cada peça tem uma chance de 2% ( ) de ser defeituosa. Queremos descobrir a probabilidade de encontrar a primeira peça defeituosa exatamente na 5ª inspeção. Para resolver isso, vamos usar o conceito de distribuição geométrica, que é útil para calcular a probabilidade de um evento ocorrer pela primeira vez em um determinado ensaio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição geométrica. Ela nos dá a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra no P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p -ésimo ensaio. A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, e é o número do ensaio em que o primeiro sucesso ocorre.

Passo 3

No nosso caso, um “sucesso” é encontrar uma peça defeituosa. Sabemos que e queremos achar a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer na 5ª inspeção ( ).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula substituindo P(X = 5) = (1 - 0,02)^5-1 times 0,02 por 0,02 e P(X = 5) = (0,98)^4 times 0,02 por 5:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores:
(0,98)^4 approx 0,9224
Multiplicando por 0,02:
0,9224 times 0,02 approx 0,018448

Resposta

A probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja encontrada na 5ª inspeção é aproximadamente 1,84%.

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