A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?
Qual é a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distância entre patrulhas em uma autoestrada que segue uma distribuição exponencial com uma média de 5 km. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é distribuição exponencial e como calcular probabilidades nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo ou a distância entre eventos que acontecem de forma aleatória e independente, como a chegada de patrulhas numa estrada. A característica principal dela é que a probabilidade de esperar mais tempo (ou distância) para o próximo evento diminui exponencialmente.
Passo 3
Sabemos que a média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é dada por
, onde
é a taxa de ocorrências por unidade de medida (neste caso, por km). No nosso exercício, a média é 5 km, então podemos encontrar
:
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de não haver patrulhas em uma distância de 10 km. Na distribuição exponencial, essa probabilidade é dada por:
onde
é a distância que estamos considerando (10 km).
Passo 5
Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Passo 6
Calculando
, que é aproximadamente 0,1353. Isso significa que a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km é de cerca de 13,53%.
Resposta
A probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada é aproximadamente 13,53%.