A distância entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribuição exponencial com média de 5 km .
Qual é a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a distância entre patrulhas em uma autoestrada que segue uma distribuição exponencial com uma média de 5 km. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é distribuição exponencial e como calcular probabilidades nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo ou a distância entre eventos que acontecem de forma aleatória e independente, como a chegada de patrulhas numa estrada. A característica principal dela é que a probabilidade de esperar mais tempo (ou distância) para o próximo evento diminui exponencialmente.

Passo 3

Sabemos que a média (ou valor esperado) da distribuição exponencial é dada por lambda = 1mu = 15 km^-1 , onde é a taxa de ocorrências por unidade de medida (neste caso, por km). No nosso exercício, a média é 5 km, então podemos encontrar :

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de não haver patrulhas em uma distância de 10 km. Na distribuição exponencial, essa probabilidade é dada por:
P(X > a) = e^-lambda a
onde é a distância que estamos considerando (10 km).

Passo 5

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
P(X > 10) = e^-15 times 10 = e^-2

Passo 6

Calculando , que é aproximadamente 0,1353. Isso significa que a probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km é de cerca de 13,53%.

Resposta

A probabilidade de não haver patrulhas em uma extensão de 10 km de estrada é aproximadamente 13,53%.

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