Deduza uma equação da circunferência de centro na origem e tangente à reta -2 x+y+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir a equação de uma circunferência que tem o centro na origem e é tangente à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, já que a circunferência será tangente à reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro na origem é x^2 + y^2 = r^2, onde é o raio da circunferência. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 3

Como a circunferência é tangente à reta D = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 , a distância entre o centro da circunferência (que é a origem, ) e a reta deve ser igual ao raio . A fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula, temos que:
  • D = |-2 cdot 0 + 1 cdot 0 + 2|raiz(-2)^2 + 1^2 = |0 + 0 + 2|raiz4 + 1 = 2raiz5
Substituindo esses valores na fórmula da distância:

Passo 5

Então, o raio r = 2raiz5 da circunferência é igual a essa distância:
r = 2raiz5 times raiz5raiz5 = 2raiz55
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A equação da circunferência é x^2 + y^2 = 45

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