Deduza uma equação da circunferência de centro na origem e tangente à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzir a equação de uma circunferência que tem o centro na origem e é tangente à reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, já que a circunferência será tangente à reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro na origem é
onde
é o raio da circunferência. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Passo 3
Como a circunferência é tangente à reta
, a distância entre o centro da circunferência (que é a origem,
) e a reta deve ser igual ao raio
. A fórmula para calcular a distância
de um ponto
a uma reta
é:
Passo 4
Aplicando essa fórmula, temos que:
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Então, o raio
da circunferência é igual a essa distância:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A equação da circunferência é