Qual a distância entre o ponto (3,2,-5) e a reta que passa nos pontos (1,0,1) e (0,1,-1) ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica. Queremos encontrar a distância entre um ponto no espaço, que é (3,2,-5), e uma reta que passa pelos pontos (1,0,1) e (0,1,-1). Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Isso é feito subtraindo as coordenadas de dois pontos na reta. Vamos usar os pontos (1,0,1) e (0,1,-1).
Vetor diretor u = (0-1, 1-0, -1-1) = (-1, 1, -2).

Passo 3

Agora, identificamos o ponto dado P(3,2,-5) e um dos pontos da reta, por exemplo, A(1,0,1). Em seguida, construímos o vetor AP que vai de A até P.
AP = (3-1, 2-0, -5-1) = (2, 2, -6).

Passo 4

A distância d entre o ponto P e a reta pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
d = ||AP times u||||u||
Onde times representa o produto vetorial e ||cdot|| é o módulo do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times u.
AP times u = i & j & k 2 & 2 & -6 -1 & 1 & -2 = i(2 times -2 - (-6) times 1) - j(2 times -2 - (-6) times -1) + k(2 times 1 - 2 times -1)
Simplificando:
= i(-4 + 6) - j(-4 -6) + k(2 + 2) = i(2) - j(-10) + k(4) = (2, 10, 4)

Passo 6

Agora, calculamos o módulo do produto vetorial:
||AP times u|| = raiz2^2 + 10^2 + 4^2 = raiz4 + 100 + 16 = raiz120 = 2raiz30

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor u:
||u|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 2raiz30raiz6 = 2raiz30raiz6 times raiz6raiz6 = 2raiz1806 = 2 times 6raiz56 = 2raiz5

Resposta

A distância entre o ponto (3,2,-5) e a reta é 2raiz5 unidades.

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