Encontre dois vetores perpediculares, não nulos, ambos paralelos ao plano x+y+z=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dois vetores não nulos que sejam perpendicular entre si e que sejam paralelos ao plano definido pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no plano e produto escalar para garantir que os vetores sejam perpendiculares.

Passo 2

Um vetor paralelo a um plano é aquele que está contido nesse plano. Para o plano v cdot n = 0 , o vetor normal é vx cdot 1 + vy cdot 1 + vz cdot 1 = 0 Rightarrow vx + vy + vz = 0 . Vetores paralelos ao plano são aqueles que são perpendiculares ao vetor normal. Então, se é paralelo ao plano, devemos ter:

Passo 3

Agora, queremos dois vetores ux + uy + uz = 0 e vx + vy + vz = 0 e u cdot v = 0 paralelos ao plano e perpendiculares entre si. Isso significa que além de:
Também deve ser:

Passo 4

Vamos escolher dois vetores que satisfaçam u = (1, -1, 0) e v = (1, 1, -2) . Por simplicidade, podemos escolher:
u cdot v = 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 0 cdot (-2) = 1 - 1 + 0 = 0
Vamos verificar se eles são perpendiculares:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Resposta

Dois vetores não nulos e perpendiculares, ambos paralelos ao plano u = (1, -1, 0) , são:
v = (1, 1, -2)
e

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