(b) Os vetores e e são LI ou LD? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para sabermos se os vetores , e são Linearmente Independentes (LI) ou Dependentes (LD). Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente à independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e aplicar isso aos vetores que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ser Linearmente Independente ou Dependente. Vetores são Linearmente Independentes (LI) se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Se for possível fazer uma combinação não trivial que dê o vetor zero, então os vetores são Linearmente Dependentes (LD).
Passo 3
Para verificar se , e são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta em um sistema de equações que precisamos resolver para ver se a única solução é .
Passo 4
Vamos representar os vetores em forma de matriz e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; caso contrário, são LD. A matriz fica assim:
Como tem 4 componentes, precisamos garantir que todas as matrizes estejam no mesmo espaço dimensional para calcular corretamente.
Passo 5
Após montar a matriz e calcular o determinante, se encontrarmos que o determinante é zero, isso significa que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero, logo, os vetores são Linearmente Dependentes. Se o determinante for diferente de zero, eles são Linearmente Independentes.
Resposta
Após realizar os cálculos, constatamos que os vetores , e são Linearmente Dependentes (LD), já que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.