A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a integral indefinida ∫ 3 e 2 x 2 e x ( e x − 2 ) ( e 2 x 4 ) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida integral 3 e^2x^2 e^x (e^x - 2) e^2x^4 , dx. Estamos trabalhando com técnicas de integração, principalmente com integração por substituição, já que a integral parece bem complexa por conta das funções exponenciais envolvidas. Vamos precisar simplificar a expressão e buscar uma forma que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos exponenciais. Lembrando que e^a cdot e^b = e^a + b, temos:
3 e^2x^2 cdot e^x cdot e^2x^4 = 3 e^2x^4 + 2x^2 + x
Então, a integral fica:
integral 3 e^2x^4 + 2x^2 + x (e^x - 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos distribuir o (e^x - 2) na expressão:
3 integral e^2x^4 + 2x^2 + x cdot e^x , dx - 3 integral e^2x^4 + 2x^2 + x cdot 2 , dx
Simplificando os termos exponenciais:
3 integral e^2x^4 + 2x^2 + 2x , dx - 6 integral e^2x^4 + 2x^2 + x , dx

Passo 4

Observando as integrais resultantes, vemos que elas ainda estão bem complicadas devido aos termos 2x^4 e 2x^2 no expoente. Não conseguimos aplicar uma substituição simples ou uma técnica básica de integração para resolver essas integrais diretamente.
Isso indica que talvez a integral fornecida não tenha uma solução em termos de funções elementares conhecidas, ou pode ser necessária uma abordagem mais avançada ou numérica para resolver.

Resposta

A integral indefinida integral 3 e^2x^2 e^x (e^x - 2) e^2x^4 , dx não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares conhecidas. Portanto, não é possível resolver essa integral usando técnicas de integração básicas.

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