A distancia entre os pontos A(-2,Y) e B(6,7) é 10. Encontre o valor de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ Y $ para que a distância entre os pontos $ A(-2, Y) $ e $ B(6, 7) $ seja igual a 10. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $:
A(x1, y1)
Isso significa que a distância $ d $ é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas dos pontos:
  • Ponto $ A $: $ x_1 = -2 $, $ y_1 = Y $
  • Ponto $ B $: $ x_2 = 6 $, $ y_2 = 7 $
E sabemos que a distância $ d = 10 $.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da distância:
10 = raiz(6 - (-2))^2 + (7 - Y)^2

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
10 = raiz(6 + 2)^2 + (7 - Y)^2
10 = raiz8^2 + (7 - Y)^2
10 = raiz64 + (7 - Y)^2

Passo 6

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
10^2 = 64 + (7 - Y)^2
100 = 64 + (7 - Y)^2

Passo 7

Agora, vamos isolar $ (7 - Y)^2 $:
(7 - Y)^2
(7 - Y)^2 = 100 - 64

Passo 8

Para resolver essa equação quadrática, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
7 - Y = pm raiz36
7 - Y = pm 6

Passo 9

Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ 7 - Y = 6 $
  2. $ 7 - Y = -6 $
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 10

Primeira possibilidade:
7 - Y = 6
-Y = 6 - 7
-Y = -1
Y = 1

Passo 11

Segunda possibilidade:
7 - Y = -6
-Y = -6 - 7
-Y = -13
Y = 13

Resposta

Os valores de $ Y $ que satisfazem a condição são $ Y = 1 $ ou $ Y = 13 $.

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