A distancia entre os pontos A(-2,Y) e B(6,7) é 10. Encontre o valor de y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ Y $ para que a distância entre os pontos $ A(-2, Y) $ e $ B(6, 7) $ seja igual a 10. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $:
Isso significa que a distância $ d $ é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas dos pontos:
- Ponto $ A $: $ x_1 = -2 $, $ y_1 = Y $
- Ponto $ B $: $ x_2 = 6 $, $ y_2 = 7 $
E sabemos que a distância $ d = 10 $.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
Passo 6
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ (7 - Y)^2 $:
Passo 8
Para resolver essa equação quadrática, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 9
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ 7 - Y = 6 $
- $ 7 - Y = -6 $
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 10
Primeira possibilidade:
Passo 11
Segunda possibilidade:
Resposta
Os valores de $ Y $ que satisfazem a condição são $ Y = 1 $ ou $ Y = 13 $.