Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
onde
e
são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a carga total
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição de carga que cria um campo elétrico radial descrito por
. O objetivo aqui é usar a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a carga total
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo elétrico e depois relacionar isso com a densidade de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é dada por:
Aqui,
representa a divergência do campo elétrico
,
é a densidade de carga, e
é a permissividade do vácuo. Nosso objetivo é encontrar a carga total
, que está relacionada à densidade de carga.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas, para um campo radial
, a divergência é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora usamos a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a densidade de carga
:
Passo 5
Para encontrar a carga total
, integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A carga total
é
.
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Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno
e externo
, tem densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine a carga total, e
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.
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, quando a carga armazenada no capacitor vale
.
(d) Num meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é dada por
. Determine
num instante
e compare com o resultado do item (b).