Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
onde e são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a carga total .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição de carga que cria um campo elétrico radial descrito por . O objetivo aqui é usar a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a carga total . Para isso, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo elétrico e depois relacionar isso com a densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é dada por:
Aqui, representa a divergência do campo elétrico , é a densidade de carga, e é a permissividade do vácuo. Nosso objetivo é encontrar a carga total , que está relacionada à densidade de carga.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas, para um campo radial , a divergência é:
Substituindo :

Passo 4

Agora usamos a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a densidade de carga :

Passo 5

Para encontrar a carga total , integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
Calculando a integral:
Então:

Resposta

A carga total é .

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