Uma distribuição de carga estática produz um campo elétrico radial dado por
E=A e^-b rr^2 er
onde A e b são constantes. Utilizando a lei de Gauss na forma diferencial encontre a carga total Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição de carga que cria um campo elétrico radial descrito por . O objetivo aqui é usar a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a carga total . Para isso, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo elétrico e depois relacionar isso com a densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é dada por:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, representa a divergência do campo elétrico , é a densidade de carga, e é a permissividade do vácuo. Nosso objetivo é encontrar a carga total , que está relacionada à densidade de carga.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas, para um campo radial nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 Er ) , a divergência é:
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 cdot A e^-b rr^2 ) = 1r^2 ddr ( A e^-b r ) = 1r^2 ( -A b e^-b r ) = -A b e^-b rr^2
Substituindo :

Passo 4

Agora usamos a Lei de Gauss na forma diferencial para encontrar a densidade de carga -A b e^-b rr^2 = rhovarepsilon0 implies rho = -A b varepsilon0 e^-b rr^2 :

Passo 5

Para encontrar a carga total Q = integral rho , dV = integral0^infty ( -A b varepsilon0 e^-b rr^2 ) cdot 4pi r^2 dr = -4pi A b varepsilon0 integral0^infty e^-b r dr , integramos a densidade de carga sobre todo o espaço:
integral0^infty e^-b r dr = 1b
Calculando a integral:
Q = -4pi A b varepsilon0 cdot 1b = -4pi A varepsilon0
Então:

Resposta

A carga total é .

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