(d) Num meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é dada por . Determine num instante e compare com o resultado do item (b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell em um meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico. Nosso objetivo aqui é determinar a densidade de corrente de deslocamento em um instante específico e, depois, comparar com o resultado que foi obtido no item (b) da mesma questão. Para isso, vamos precisar entender a fórmula que relaciona com a variação do campo elétrico no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell. Em meios dielétricos, além das correntes convencionais causadas pelo movimento de cargas livres, existe a chamada corrente de deslocamento, que leva em conta a variação do campo elétrico no tempo. A fórmula que nos foi dada é:
Aqui, é a constante dielétrica do meio, é a permissividade do vácuo, e representa a taxa de variação do campo elétrico em relação ao tempo.

Passo 3

Para determinar em um instante , precisamos conhecer como o campo elétrico varia com o tempo nesse meio dielétrico. Supondo que já temos a expressão de , podemos calcular sua derivada temporal.
Vamos supor que o campo elétrico varia no tempo de acordo com uma função conhecida, por exemplo:
onde é a amplitude do campo elétrico e é a frequência angular da variação.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo :
Essa derivada nos mostra como o campo elétrico está mudando naquele instante específico.

Passo 5

Substituindo a derivada na fórmula da densidade de corrente de deslocamento:
Podemos simplificar isso para:

Passo 6

Então, a densidade de corrente de deslocamento no instante é dada por:
Isso nos mostra que a densidade de corrente de deslocamento depende da amplitude do campo elétrico, da frequência de variação e da constante dielétrica do meio.

Resposta

A densidade de corrente de deslocamento no instante é:
Comparando com o resultado obtido no item (b), observamos que a presença do termo indica uma diferença na fase ou na forma da variação temporal da corrente de deslocamento em relação ao caso analisado anteriormente.

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