Uma distribuição de carga linear com a forma de um quadrado de aresta está no plano com seu centro na origem. Encontre o campo elétrico no eixo a uma distância arbitrária e compare seu resultado àquele do campo no eixo de um anel carregado de raio com o centro na origem e carregando a mesma carga total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição linear de carga, tipo um quadrado com lado , posicionado no plano e centrado na origem. A gente precisa encontrar o campo elétrico no eixo a uma distância qualquer desse quadrado. Além disso, queremos comparar esse resultado com o campo elétrico no eixo de um anel carregado de raio que tem a mesma carga total. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb para campos elétricos de distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a carga total no quadrado. Como a carga está distribuída linearmente com densidade , e o quadrado tem 4 lados, cada de comprimento , a carga total será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico na direção do eixo devido a um dos lados do quadrado. Por simetria, os componentes dos campos elétricos nas direções e vão se cancelar, então só vamos precisar considerar a componente na direção .

Passo 4

Vamos parametrizar um dos lados do quadrado. Suponha que estamos olhando para um lado paralelo ao eixo , fixo na posição . Um elemento de carga em uma posição desse lado gera um campo elétrico no ponto :
Simplificando:

Passo 5

Integrando ao longo de todo o comprimento de um lado:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou fórmulas padrão de integrais.

Passo 6

Após resolver a integral, encontramos o campo elétrico devido a um lado. Como temos 4 lados no quadrado, o campo total será 4 vezes o campo de um lado:
Substituindo os valores e simplificando a expressão, obtemos o campo elétrico total no eixo devido ao quadrado.

Passo 7

Agora, vamos comparar com o campo elétrico de um anel carregado no eixo . Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel de raio e carga total é dado por:
No nosso caso, e é a mesma do quadrado, então substituímos esses valores na fórmula do anel.

Resposta

Após os cálculos, o campo elétrico no eixo devido ao quadrado é quatro vezes o campo elétrico de um lado do quadrado, e ao comparar com o campo do anel carregado com mesma carga total e raio , podemos ver que:
Ou seja, os campos elétricos no eixo são iguais para a distribuição de carga em forma de quadrado e para o anel com raio , ambos com a mesma carga total.

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