Uma distribuição de carga linear
com a forma de um quadrado de aresta
está no plano
com seu centro na origem. Encontre o campo elétrico no eixo
a uma distância arbitrária
e compare seu resultado àquele do campo no eixo de um anel carregado de raio
com o centro na origem e carregando a mesma carga total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição linear de carga, tipo um quadrado com lado
, posicionado no plano
e centrado na origem. A gente precisa encontrar o campo elétrico no eixo
a uma distância qualquer
desse quadrado. Além disso, queremos comparar esse resultado com o campo elétrico no eixo de um anel carregado de raio
que tem a mesma carga total. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb para campos elétricos de distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a carga total
no quadrado. Como a carga está distribuída linearmente com densidade
, e o quadrado tem 4 lados, cada de comprimento
, a carga total será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico na direção do eixo
devido a um dos lados do quadrado. Por simetria, os componentes dos campos elétricos nas direções
e
vão se cancelar, então só vamos precisar considerar a componente na direção
.
Passo 4
Vamos parametrizar um dos lados do quadrado. Suponha que estamos olhando para um lado paralelo ao eixo
, fixo na posição
. Um elemento de carga
em uma posição
desse lado gera um campo elétrico
no ponto
:
Simplificando:
Passo 5
Integrando
ao longo de todo o comprimento
de um lado:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou fórmulas padrão de integrais.
Passo 6
Após resolver a integral, encontramos o campo elétrico devido a um lado. Como temos 4 lados no quadrado, o campo total será 4 vezes o campo de um lado:
Substituindo os valores e simplificando a expressão, obtemos o campo elétrico total no eixo
devido ao quadrado.
Passo 7
Agora, vamos comparar com o campo elétrico de um anel carregado no eixo
. Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel de raio
e carga total
é dado por:
No nosso caso,
e
é a mesma do quadrado, então substituímos esses valores na fórmula do anel.
Resposta
Após os cálculos, o campo elétrico no eixo
devido ao quadrado é quatro vezes o campo elétrico de um lado do quadrado, e ao comparar com o campo do anel carregado com mesma carga total e raio
, podemos ver que:
Ou seja, os campos elétricos no eixo
são iguais para a distribuição de carga em forma de quadrado e para o anel com raio
, ambos com a mesma carga total.
Exercícios relacionados
O que acontece se somarmos as duas ondas abaixo:
nos casos de (a)
(b)
e ©
Duas cargas pontuais positivas, cada uma com intensidade
, estão fixas no eixo
nos pontos
e
. (a) Calcule a intensidade do potencial elétrico na origem do sistema de coordenadas. (b) Mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo
é
. © Esboce o gráfico do potencial elétrico em função da coordenada
para
. (d) Para qual valor de
o potencial elétrico é
a metade do valor produzido na origem? (e) Calcule a intensidade do campo elétrico com o resultado do item (b).
a metade do valor produzido na origem? (e) Calcule a intensidade do campo elétrico com o resultado do item (b).
Uma bola está a uma distância de
de um espelho plano. Qual é a distância entre a bola e a imagem?
a) 0 ; b) ; c)
d)
; e)
a) 0 ; b)
Mostre que o campo elétrico produzido por um cilíndro muito fino de raio R , infinitamente longo, que possui uma densidade superficial de carga
constante é dado por
onde
é a carga por unidade de comprimento do cilindro