Uma distribuição de carga linear lambda com a forma de um quadrado de aresta L está no plano y z com seu centro na origem. Encontre o campo elétrico no eixo x a uma distância arbitrária x e compare seu resultado àquele do campo no eixo de um anel carregado de raio r=L / 2 com o centro na origem e carregando a mesma carga total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma distribuição linear de carga, tipo um quadrado com lado , posicionado no plano e centrado na origem. A gente precisa encontrar o campo elétrico no eixo a uma distância qualquer desse quadrado. Além disso, queremos comparar esse resultado com o campo elétrico no eixo de um anel carregado de raio que tem a mesma carga total. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb para campos elétricos de distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a carga total Q = lambda times 4L no quadrado. Como a carga está distribuída linearmente com densidade , e o quadrado tem 4 lados, cada de comprimento , a carga total será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico na direção do eixo devido a um dos lados do quadrado. Por simetria, os componentes dos campos elétricos nas direções e vão se cancelar, então só vamos precisar considerar a componente na direção .

Passo 4

Vamos parametrizar um dos lados do quadrado. Suponha que estamos olhando para um lado paralelo ao eixo dE = 14piepsilon0 dq(x^2 + y^2 + (L2)^2) cdot xraizx^2 + y^2 + (L2)^2 , fixo na posição dEx = 14piepsilon0 lambda x(x^2 + y^2 + (L2)^2)^3/2 dy . Um elemento de carga em uma posição desse lado gera um campo elétrico no ponto :
Simplificando:

Passo 5

Integrando Ex,lado = lambda x4piepsilon0 integral-L2^L2 1(x^2 + y^2 + (L2)^2)^3/2 dy ao longo de todo o comprimento de um lado:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou fórmulas padrão de integrais.

Passo 6

Após resolver a integral, encontramos o campo elétrico devido a um lado. Como temos 4 lados no quadrado, o campo total será 4 vezes o campo de um lado:
Ex,quadrado = 4 times Ex,lado
Substituindo os valores e simplificando a expressão, obtemos o campo elétrico total no eixo devido ao quadrado.

Passo 7

Agora, vamos comparar com o campo elétrico de um anel carregado no eixo Eanel = 14piepsilon0 Qx(x^2 + r^2)^3/2 . Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel de raio e carga total é dado por:
No nosso caso, e é a mesma do quadrado, então substituímos esses valores na fórmula do anel.

Resposta

Após os cálculos, o campo elétrico no eixo Ex,quadrado = Eanel devido ao quadrado é quatro vezes o campo elétrico de um lado do quadrado, e ao comparar com o campo do anel carregado com mesma carga total e raio , podemos ver que:
Ou seja, os campos elétricos no eixo são iguais para a distribuição de carga em forma de quadrado e para o anel com raio , ambos com a mesma carga total.

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