Mostre que o campo elétrico produzido por um cilíndro muito fino de raio R , infinitamente longo, que possui uma densidade superficial de carga sigma constante é dado por
ll Er=0, & rR
onde lambda=2 pi R sigma é a carga por unidade de comprimento do cilindro

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar o campo elétrico gerado por um cilindro muito fino, de raio , que é infinitamente longo e tem uma densidade superficial de carga constante . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como essa. Vamos precisar entender um pouco sobre simetria cilíndrica e como aplicar a Lei de Gauss passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 :
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento infinitesimal da área da superfície.

Passo 3

Como o cilindro é infinitamente longo e tem simetria cilíndrica, o campo elétrico deve ser radial e depender apenas da distância ao eixo do cilindro. Ou seja, . Vamos escolher uma superfície gaussiana que é também um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é sempre radial e a área lateral do cilindro gaussiano é oint E cdot dA = Er(r) cdot 2pi r L , o fluxo elétrico é:
As extremidades do cilindro gaussiano (as tampas) não contribuem para o fluxo porque o campo é perpendicular a elas.

Passo 5

Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana Qdentro = sigma cdot (2pi R L) . A densidade superficial de carga é , então a carga total no cilindro de raio e comprimento é:
Aqui, é a área superficial do cilindro carregado.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
Er(r) cdot 2pi r L = sigma cdot 2pi R Lepsilon0
Perceba que o comprimento cancela dos dois lados da equação.

Passo 7

Agora, resolvemos para Er(r) = sigma Repsilon0 r :
Isso é válido para , ou seja, fora do cilindro.

Passo 8

Para Er(r) cdot 2pi r L = 0 Rightarrow Er(r) = 0 , ou seja, dentro do cilindro, não há carga dentro da superfície gaussiana (já que o cilindro é “muito fino” e toda a carga está na superfície), então . Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, dentro do cilindro, o campo elétrico é zero.

Passo 9

Finalmente, queremos expressar o campo elétrico para lambda = QL = 2pi R sigma LL = 2pi R sigma em termos da carga por unidade de comprimento Er(r) = lambda2pi epsilon0 r . Sabemos que:
Substituindo na expressão de :

Resposta

Assim, o campo elétrico produzido pelo cilindro é:
ll Er=0, & rR

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