Mostre que o campo elétrico produzido por um cilíndro muito fino de raio R , infinitamente longo, que possui uma densidade superficial de carga
constante é dado por
onde
é a carga por unidade de comprimento do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar o campo elétrico gerado por um cilindro muito fino, de raio
, que é infinitamente longo e tem uma densidade superficial de carga constante
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como essa. Vamos precisar entender um pouco sobre simetria cilíndrica e como aplicar a Lei de Gauss passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento infinitesimal da área da superfície.
Passo 3
Como o cilindro é infinitamente longo e tem simetria cilíndrica, o campo elétrico
deve ser radial e depender apenas da distância
ao eixo do cilindro. Ou seja,
. Vamos escolher uma superfície gaussiana que é também um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio
e comprimento
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Como o campo é sempre radial e a área lateral do cilindro gaussiano é
, o fluxo elétrico é:
As extremidades do cilindro gaussiano (as tampas) não contribuem para o fluxo porque o campo é perpendicular a elas.
Passo 5
Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana
. A densidade superficial de carga é
, então a carga total no cilindro de raio
e comprimento
é:
Aqui,
é a área superficial do cilindro carregado.
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Perceba que o comprimento
cancela dos dois lados da equação.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Isso é válido para
, ou seja, fora do cilindro.
Passo 8
Para
, ou seja, dentro do cilindro, não há carga dentro da superfície gaussiana (já que o cilindro é “muito fino” e toda a carga está na superfície), então
. Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, dentro do cilindro, o campo elétrico é zero.
Passo 9
Finalmente, queremos expressar o campo elétrico para
em termos da carga por unidade de comprimento
. Sabemos que:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
Assim, o campo elétrico produzido pelo cilindro é:
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Adote .
Adote