Uma distribuição de carga com simetria esférica tem raio
e uma densidade de carga volumértrica constante dada por
. Calcule o campo elétrico em todo o espaço usando a lei de Gauss.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de eletrostática envolvendo uma distribuição de carga com simetria esférica. A esfera tem raio
e uma densidade de carga constante, chamada de
. A gente vai usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço ao redor dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Como a distribuição de carga é esférica e a densidade é constante, a gente pode escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera, para facilitar os cálculos. Essa superfície pode ter raio
, que será a distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico até o centro da esfera de carga.
Passo 4
Vamos considerar dois casos:
- Quando
(dentro da esfera de carga) - Quando
(fora da esfera de carga)
Passo 5
Caso 1:
Aqui, a superfície gaussiana está dentro da esfera de carga. A carga total dentro dessa superfície é a densidade de carga
multiplicada pelo volume da esfera de raio
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 6
Caso 2:
Agora, a superfície gaussiana está fora da esfera de carga. A carga total dentro dessa superfície é a carga total da esfera, que é a densidade de carga
multiplicada pelo volume total da esfera de raio
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico
em todo o espaço é dado por: