Uma distribuição de carga com simetria esférica tem raio R e uma densidade de carga volumértrica constante dada por rho. Calcule o campo elétrico em todo o espaço usando a lei de Gauss.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de eletrostática envolvendo uma distribuição de carga com simetria esférica. A esfera tem raio R e uma densidade de carga constante, chamada de rho. A gente vai usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em qualquer ponto do espaço ao redor dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, fica assim:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 3

Como a distribuição de carga é esférica e a densidade é constante, a gente pode escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera, para facilitar os cálculos. Essa superfície pode ter raio r, que será a distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico até o centro da esfera de carga.

Passo 4

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando r < R (dentro da esfera de carga)
  2. Quando r >= R (fora da esfera de carga)

Passo 5

Caso 1: r < R
Aqui, a superfície gaussiana está dentro da esfera de carga. A carga total dentro dessa superfície é a densidade de carga rho multiplicada pelo volume da esfera de raio r:
Qdentro = rho cdot 43pi r^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho r3varepsilon0

Passo 6

Caso 2: r >= R
Agora, a superfície gaussiana está fora da esfera de carga. A carga total dentro dessa superfície é a carga total da esfera, que é a densidade de carga rho multiplicada pelo volume total da esfera de raio R:
Qdentro = rho cdot 43pi R^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi R^3varepsilon0
Resolvendo para E:
E = rho R^33varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico E em todo o espaço é dado por:
E(r) = rho r3varepsilon0 & para r < R rho R^33varepsilon0 r^2 & para r >= R

Exercícios relacionados