Distribuição cilíndrica de cargas. Uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica estende-se até o infinito na direção . A densidade de carga varia radialmente, possuindo a seguinte dependência
Determine expressões para o campo elétrico nestas duas regiões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição cilíndrica de cargas. A questão fala de uma distribuição de carga com simetria cilíndrica que se estende até o infinito nas direções positivas e negativas de z. A densidade de carga varia radialmente e é dada por:
Nosso objetivo é determinar as expressões para o campo elétrico nas duas regiões: quando o raio é menor que e quando está entre e . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações com alta simetria, como aqui que temos simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso onde . Para encontrar o campo elétrico nesse intervalo, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com a distribuição de carga, com raio e comprimento .
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana.
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As extremidades do cilindro não contribuem para o fluxo, já que é paralelo a essas superfícies.

Passo 3

Vamos calcular quando . A densidade de carga é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro de raio e comprimento :
Substituindo :
Computando as integrais:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo :
Simplificando:
Então, para :

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde . Novamente, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com raio e comprimento .
Dessa vez, a carga dentro da superfície gaussiana inclui toda a carga até , já que para a densidade de carga é zero. Então, será a carga total dentro do cilindro de raio .
Usando o cálculo que fizemos no Passo 3, para :

Passo 6

Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Simplificando:
Então, para :

Resposta

As expressões para o campo elétrico são:
Para :
E para :

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