Distribuição cilíndrica de cargas. Uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica estende-se até o infinito na direção
. A densidade de carga varia radialmente, possuindo a seguinte dependência
Determine expressões para o campo elétrico nestas duas regiões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição cilíndrica de cargas. A questão fala de uma distribuição de carga com simetria cilíndrica que se estende até o infinito nas direções positivas e negativas de z. A densidade de carga varia radialmente e é dada por:
Nosso objetivo é determinar as expressões para o campo elétrico nas duas regiões: quando o raio
é menor que
e quando
está entre
e
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações com alta simetria, como aqui que temos simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso onde
. Para encontrar o campo elétrico nesse intervalo, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com a distribuição de carga, com raio
e comprimento
.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As extremidades do cilindro não contribuem para o fluxo, já que
é paralelo a essas superfícies.
Passo 3
Vamos calcular
quando
. A densidade de carga
é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro de raio
e comprimento
:
Substituindo
:
Computando as integrais:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo
:
Simplificando:
Então, para
:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde
. Novamente, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com raio
e comprimento
.
Dessa vez, a carga dentro da superfície gaussiana inclui toda a carga até
, já que para
a densidade de carga é zero. Então,
será a carga total dentro do cilindro de raio
.
Usando o cálculo que fizemos no Passo 3, para
:
Passo 6
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Simplificando:
Então, para
:
Resposta
As expressões para o campo elétrico são:
Para
:
E para
: