Distribuição cilíndrica de cargas. Uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica estende-se até o infinito na direção pm z. A densidade de carga varia radialmente, possuindo a seguinte dependência
rho(r)= rho0(ra)^2, & r
Determine expressões para o campo elétrico nestas duas regiões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre distribuição cilíndrica de cargas. A questão fala de uma distribuição de carga com simetria cilíndrica que se estende até o infinito nas direções positivas e negativas de z. A densidade de carga varia radialmente e é dada por:
rho(r)= rho0(ra)^2, & r
Nosso objetivo é determinar as expressões para o campo elétrico nas duas regiões: quando o raio é menor que e quando está entre e . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações com alta simetria, como aqui que temos simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso onde oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 . Para encontrar o campo elétrico nesse intervalo, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com a distribuição de carga, com raio e comprimento .
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície gaussiana.
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. As extremidades do cilindro não contribuem para o fluxo, já que é paralelo a essas superfícies.

Passo 3

Vamos calcular rho(r)= rho0(ra)^2 quando Qenc = integral0^L integral0^r integral0^2pi rho(r') r' dr' dtheta dz . A densidade de carga Qenc = rho0 (1a^2) integral0^L dz integral0^r r'^3 dr' integral0^2pi dtheta é:
Qenc = rho0 (1a^2) L [r'^44]0^r cdot 2pi = rho0 (1a^2) L cdot r^44 cdot 2pi = rho0 pi L r^42 a^2
A carga total dentro da superfície gaussiana é a integral da densidade de carga sobre o volume do cilindro de raio e comprimento :
Substituindo :
Computando as integrais:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0
Substituindo E cdot 2pi r L = rho0 pi L r^42 a^2 varepsilon0 :
E = rho0 r^34 varepsilon0 a^2
Simplificando:
E(r) = rho0 r^34 varepsilon0 a^2 r
Então, para :

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde Qenc = rho0 pi L a^42 a^2 = rho0 pi L a^22 . Novamente, escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial com raio e comprimento .
Dessa vez, a carga dentro da superfície gaussiana inclui toda a carga até , já que para a densidade de carga é zero. Então, será a carga total dentro do cilindro de raio .
Usando o cálculo que fizemos no Passo 3, para :

Passo 6

Aplicando novamente a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 2pi r L = Qencvarepsilon0 = rho0 pi L a^22 varepsilon0
Simplificando:
E cdot 2pi r L = rho0 pi L a^22 varepsilon0 E = rho0 a^24 varepsilon0 r
Então, para E(r) = rho0 a^24 varepsilon0 r r :

Resposta

As expressões para o campo elétrico são:
Para E(r) = rho0 r^34 varepsilon0 a^2 r :
E(r) = rho0 a^24 varepsilon0 r r
E para :

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