Cilindro infinito. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio a. Determine expressões para o campo elétrico E a uma distância r do eixo do cilindro (a) para r e (b) para r>a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito com uma carga distribuída de forma uniforme pelo seu volume, e queremos encontrar a expressão do campo elétrico a uma distância do eixo do cilindro, tanto para quanto para . Aqui, é o raio do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como é o caso de cilindros infinitos. Precisaremos entender conceitos de carga volumétrica, simetria cilíndrica e a aplicação da Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 :
No nosso caso, como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso onde rho = Qpi a^2 L , ou seja, um ponto dentro do cilindro. Precisamos achar a carga Qinterno = rho cdot pi r^2 L = Qpi a^2 L cdot pi r^2 L = Q (r^2a^2) dentro da superfície gaussiana.
A carga volumétrica é constante e pode ser calculada como:
Onde é a carga total e é o comprimento do cilindro.
Para , a carga dentro da superfície gaussiana é apenas a carga dentro de um cilindro de raio e comprimento :

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot (2pi r L) = Q (r^2a^2)varepsilon0
Aqui, E = Q r2pi varepsilon0 a^2 L é a área lateral da superfície gaussiana (já que as extremidades não contribuem para o fluxo devido à simetria).
Resolvendo para E = rho r2 varepsilon0 :
Como a densidade de carga , podemos substituir:

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde Qinterno = Q , ou seja, um ponto fora do cilindro. Nesta situação, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana.
Então, a carga total interna é simplesmente E cdot (2pi r L) = Qvarepsilon0 :
E = Q2pi varepsilon0 r L
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E = rho a^22 varepsilon0 r
Resolvendo para :
Substituindo :

Resposta

As expressões para o campo elétrico E = rho r2 varepsilon0 a uma distância E = rho a^22 varepsilon0 r do eixo do cilindro são:
a) Para :
b) Para :

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