Cilindro infinito. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio
. Determine expressões para o campo elétrico
a uma distância
do eixo do cilindro (a) para
e (b) para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro infinito com uma carga distribuída de forma uniforme pelo seu volume, e queremos encontrar a expressão do campo elétrico
a uma distância
do eixo do cilindro, tanto para
quanto para
. Aqui,
é o raio do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como é o caso de cilindros infinitos. Precisaremos entender conceitos de carga volumétrica, simetria cilíndrica e a aplicação da Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
No nosso caso, como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com o cilindro carregado, com raio
e comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso onde
, ou seja, um ponto dentro do cilindro. Precisamos achar a carga
dentro da superfície gaussiana.
A carga volumétrica
é constante e pode ser calculada como:
Onde
é a carga total e
é o comprimento do cilindro.
Para
, a carga dentro da superfície gaussiana é apenas a carga dentro de um cilindro de raio
e comprimento
:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Aqui,
é a área lateral da superfície gaussiana (já que as extremidades não contribuem para o fluxo devido à simetria).
Resolvendo para
:
Como a densidade de carga
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde
, ou seja, um ponto fora do cilindro. Nesta situação, toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana.
Então, a carga total interna é simplesmente
:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Substituindo
:
Resposta
As expressões para o campo elétrico
a uma distância
do eixo do cilindro são:
a) Para
:
b) Para
: