Princípio da superposição. Considere um modelo eletrostático simples (muito simples!) para descrever o átomo de hidrogênio: uma carga pontual positiva (próton) encontra-se no centro de uma
onde é o raio da nuvem, ou raio de Bohr. (a) Determine o valor que a constante deve ter para que a carga total da nuvem seja igual a . (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática que fala sobre o Princípio da Superposição aplicado ao átomo de hidrogênio. Temos uma carga positiva pontual no centro e uma distribuição de carga dada por:
Onde é o raio de Bohr. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o valor de para que a carga total da nuvem seja igual a .
b) Determinar a expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a carga total da nuvem eletrônica é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o espaço. Queremos que essa carga seja . A densidade de carga nos dá a quantidade de carga por unidade de volume em cada ponto a uma distância do centro.

Passo 3

A carga total da nuvem eletrônica é dada pela integral da densidade de carga em coordenadas esféricas:
Substituindo na integral:

Passo 4

Resolvendo a integral:
Então, a carga total fica:

Passo 5

Queremos que , então igualamos:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância .
Usaremos a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga interna a uma superfície gaussiana.

Passo 7

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio . Pela Lei de Gauss:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 8

Calculando :
Integrando:

Passo 9

Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo o valor de encontrado na parte (a):
Então:

Resposta

a) A constante deve ser .
b) O campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância é:

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