Princípio da superposição. Considere um modelo eletrostático simples (muito simples!) para descrever o átomo de hidrogênio: uma carga pontual positiva +q (próton) encontra-se no centro de uma
rho(r)=Cr^2 e^-2 r / a0
onde a0 é o raio da nuvem, ou raio de Bohr. (a) Determine o valor que a constante C deve ter para que a carga total da nuvem seja igual a -q. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática que fala sobre o Princípio da Superposição aplicado ao átomo de hidrogênio. Temos uma carga positiva pontual rho(r) = Cr^2 e^-2 r / a0 no centro e uma distribuição de carga dada por:
Onde é o raio de Bohr. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o valor de para que a carga total da nuvem seja igual a .
b) Determinar a expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a carga total da nuvem eletrônica é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o espaço. Queremos que essa carga seja . A densidade de carga nos dá a quantidade de carga por unidade de volume em cada ponto a uma distância do centro.

Passo 3

A carga total Q = integral0^infty rho(r) cdot 4pi r^2 dr da nuvem eletrônica é dada pela integral da densidade de carga em coordenadas esféricas:
Q = integral0^infty Cr^2 e^-2 r / a0 cdot 4pi r^2 dr = 4pi C integral0^infty e^-2 r / a0 dr
Substituindo na integral:

Passo 4

Resolvendo a integral:
integral0^infty e^-2 r / a0 dr = [ -a02 e^-2 r / a0 ]0^infty = a02
Então, a carga total fica:
Q = 4pi C cdot a02 = 2pi C a0

Passo 5

Queremos que 2pi C a0 = -q , então igualamos:
C = -q2pi a0
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância .
Usaremos a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga interna a uma superfície gaussiana.

Passo 7

Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 . Pela Lei de Gauss:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 8

Calculando Qinterno = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi C integral0^r e^-2 r' / a0 dr' :
Qinterno = 4pi C cdot ( -a02 e^-2 r' / a0 )0^r = 2pi C a0 ( 1 - e^-2 r / a0 )
Integrando:

Passo 9

Substituindo E cdot 4pi r^2 = 2pi C a0 ( 1 - e^-2 r / a0 )varepsilon0 na Lei de Gauss:
E(r) = C a02 varepsilon0 r^2 ( 1 - e^-2 r / a0 )
Resolvendo para :

Passo 10

Substituindo o valor de C = -q2pi a0 encontrado na parte (a):
E(r) = -q2pi a0 cdot a02 varepsilon0 r^2 ( 1 - e^-2 r / a0 ) = -q4pi varepsilon0 r^2 ( 1 - e^-2 r / a0 )
Então:

Resposta

a) A constante E(r) = -q4pi varepsilon0 r^2 ( 1 - e^-2 r / a0 ) deve ser .
b) O campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância é:

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