Princípio da superposição. Considere um modelo eletrostático simples (muito simples!) para descrever o átomo de hidrogênio: uma carga pontual positiva
(próton) encontra-se no centro de uma
onde
é o raio da nuvem, ou raio de Bohr. (a) Determine o valor que a constante
deve ter para que a carga total da nuvem seja igual a
. (b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática que fala sobre o Princípio da Superposição aplicado ao átomo de hidrogênio. Temos uma carga positiva pontual
no centro e uma distribuição de carga dada por:
Onde
é o raio de Bohr. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o valor de
para que a carga total da nuvem seja igual a
.
b) Determinar a expressão para o campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância radial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a carga total da nuvem eletrônica é obtida integrando a densidade de carga
sobre todo o espaço. Queremos que essa carga seja
. A densidade de carga nos dá a quantidade de carga por unidade de volume em cada ponto a uma distância
do centro.
Passo 3
A carga total
da nuvem eletrônica é dada pela integral da densidade de carga em coordenadas esféricas:
Substituindo
na integral:
Passo 4
Resolvendo a integral:
Então, a carga total fica:
Passo 5
Queremos que
, então igualamos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o campo elétrico
produzido pela nuvem a uma distância
.
Usaremos a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga interna a uma superfície gaussiana.
Passo 7
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
. Pela Lei de Gauss:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 8
Calculando
:
Integrando:
Passo 9
Substituindo
na Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo o valor de
encontrado na parte (a):
Então:
Resposta
a) A constante
deve ser
.
b) O campo elétrico produzido pela nuvem a uma distância
é: