Fluxo através de uma esfera. Qual é o fluxo através de uma superfície fechada que envolve completamente uma esfera carregada de raio a com uma densidade volumétrica de carga rho(r)=rho0(r / a), onde rho0 é a densidade na superfície da esfera e r é a distância a partir do centro da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera carregada com raio e uma distribuição de carga volumétrica que varia com a distância ao centro, dada por . O que precisamos encontrar é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que envolve completamente essa esfera. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total dentro da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Phi = Qtotalvarepsilon0
Onde é o fluxo elétrico, é a carga total dentro da superfície fechada, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Então, o próximo passo é encontrar a carga total dentro da esfera. Como a densidade de carga varia com , precisamos integrar essa densidade sobre todo o volume da esfera.

Passo 4

A carga total é dada por:
Qtotal = integral0^a rho(r) cdot 4pi r^2 , dr
Substituindo Qtotal = integral0^a rho0 ( ra ) 4pi r^2 , dr = 4pi rho0 1a integral0^a r^3 , dr pela expressão dada:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44
Então, substituindo de volta:
Qtotal = 4pi rho0 1a cdot a^44 = pi rho0 a^3

Passo 6

Agora que temos a carga total, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo:
Phi = Qtotalvarepsilon0 = pi rho0 a^3varepsilon0

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície fechada é .

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