Fluxo através de uma esfera. Qual é o fluxo através de uma superfície fechada que envolve completamente uma esfera carregada de raio
com uma densidade volumétrica de carga
, onde
é a densidade na superfície da esfera e
é a distância a partir do centro da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera carregada com raio
e uma distribuição de carga volumétrica que varia com a distância ao centro, dada por
. O que precisamos encontrar é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada que envolve completamente essa esfera. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga total dentro da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Onde
é o fluxo elétrico,
é a carga total dentro da superfície fechada, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Então, o próximo passo é encontrar a carga total
dentro da esfera. Como a densidade de carga
varia com
, precisamos integrar essa densidade sobre todo o volume da esfera.
Passo 4
A carga total é dada por:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos a carga total, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o fluxo:
Resposta
O fluxo elétrico através da superfície fechada é
.