A distribuição conjunta de X e Y é dada por f(x, y)=24 y(1-x-y) na região A subset R^2, tal que A=(x, y) / x>0, y>0, x+y<1. Analise se X e Y são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se as variáveis aleatórias e são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é na região onde , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes na estatística e como verificar essa independência usando a distribuição conjunta e as distribuições marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis f(x, y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se e somente se a distribuição conjunta for igual ao produto das distribuições marginais de e . Em termos de fórmula, isso significa:
onde e são as distribuições marginais de e , respectivamente.

Passo 3

Então, nosso próximo passo é encontrar as distribuições marginais fX(x) = integral0^1 - x 24y(1 - x - y) , dy e . A distribuição marginal de é obtida integrando a distribuição conjunta em relação a :
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Vamos resolver a integral para fX(x) = 24 integral0^1 - x y(1 - x - y) , dy :
y(1 - x - y) = y(1 - x) - y^2
Primeiro, expandimos o integrando:
fX(x) = 24 [ (1 - x)integral0^1 - x y , dy - integral0^1 - x y^2 , dy ]
Então, a integral fica:
integral0^1 - x y , dy = (1 - x)^22
Calculando as integrais:
integral0^1 - x y^2 , dy = (1 - x)^33
fX(x) = 24 [ (1 - x)cdot (1 - x)^22 - (1 - x)^33 ]
Substituindo de volta:
fX(x) = 24 [ (1 - x)^32 - (1 - x)^33 ] = 24 cdot (1 - x)^36 = 4(1 - x)^3
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de fY(y) = integral0^1 - y 24y(1 - x - y) , dx , , integrando a distribuição conjunta em relação a :
Vamos calcular essa integral.

Passo 6

Resolvendo a integral para fY(y) = 24y integral0^1 - y (1 - x - y) , dx :
integral0^1 - y (1 - x - y) , dx = [ (1 - y)x - x^22 ]0^1 - y = (1 - y)(1 - y) - (1 - y)^22 = (1 - y)^22
Integrando:
fY(y) = 24y cdot (1 - y)^22 = 12y(1 - y)^2
Então:

Passo 7

Agora que temos as distribuições marginais fX(x) cdot fY(y) = 4(1 - x)^3 cdot 12y(1 - y)^2 = 48y(1 - x)^3(1 - y)^2 e 48y(1 - x)^3(1 - y)^2 neq 24y(1 - x - y) , vamos verificar se o produto delas é igual à distribuição conjunta .
Calculando o produto das marginais:
Comparando com , vemos que:
A menos que haja condições específicas onde possa ser igual, o que não ocorre de forma geral na região dada.

Resposta

As variáveis aleatórias e não são independentes, já que a distribuição conjunta não é igual ao produto das distribuições marginais.

Exercícios relacionados