A distribuição conjunta de
e
é dada por
na região
, tal que
. Analise se
e
são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se as variáveis aleatórias
e
são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é
na região onde
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes na estatística e como verificar essa independência usando a distribuição conjunta e as distribuições marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis
e
são independentes se e somente se a distribuição conjunta
for igual ao produto das distribuições marginais de
e
. Em termos de fórmula, isso significa:
onde
e
são as distribuições marginais de
e
, respectivamente.
Passo 3
Então, nosso próximo passo é encontrar as distribuições marginais
e
. A distribuição marginal de
é obtida integrando a distribuição conjunta em relação a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Vamos resolver a integral para
:
Primeiro, expandimos o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de
,
, integrando a distribuição conjunta em relação a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Resolvendo a integral para
:
Integrando:
Então:
Passo 7
Agora que temos as distribuições marginais
e
, vamos verificar se o produto delas é igual à distribuição conjunta
.
Calculando o produto das marginais:
Comparando com
, vemos que:
A menos que haja condições específicas onde possa ser igual, o que não ocorre de forma geral na região dada.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
não são independentes, já que a distribuição conjunta não é igual ao produto das distribuições marginais.
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Em um laranjal existem 10000 pés de laranja. A probabilidade de uma laranja estar pronta para a colheita numa determinada época é igual a 0,8 . Sabendo-se que o número N de laranjas por pé segue uma lei de Poisson (15), determinar a produção média total de laranjas que deverão ser colhidas naquela época.
2020 será um ano marcado pela pandemia conhecida por Covid-19. Um dos países mais afetados pela doença, até o momento, é a Itália, registrando cerca de 30 mil mortes e, aproximadamente, 230 mil casos confirmados. Suponha que em determinada região desse país, foi feito um levantamento de dados sobre os casos de óbitos pela pandemia, bem como os casos que foram considerados recuperados, ou seja, pessoas que contraíram o vírus e não vieram a óbito:
Homens | Mulheres | Total | |
---|---|---|---|
Óbitos | 10 | 5 | 15 |
Recuperados | 120 | 80 | 200 |
TOTAL | 130 | 85 | 215 |
Sobre esse quadro, é correto afirmar:
a) Escolhendo uma pessoa ao acaso e sabendo que ela é Mulher, a probabilidade de ser recuperada é de 37,2%.
b) A taxa de recuperação em homens é maior que em mulheres.
c) A quantidade de mulheres recuperadas representa menos de da população estudada.
d) Escolhendo uma pessoa ao acaso e sabendo que ela é Homem, a probabilidade de ser recuperado é de 92,3%.
e) Nessa região, a pandemia afetou mais mulheres que homens.
a) Escolhendo uma pessoa ao acaso e sabendo que ela é Mulher, a probabilidade de ser recuperada é de 37,2%.
b) A taxa de recuperação em homens é maior que em mulheres.
c) A quantidade de mulheres recuperadas representa menos de
d) Escolhendo uma pessoa ao acaso e sabendo que ela é Homem, a probabilidade de ser recuperado é de 92,3%.
e) Nessa região, a pandemia afetou mais mulheres que homens.
Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória
e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória
. Verifique se
e
são independentes se a distribuição conjunta de (
) é:
Seja
uma variável aleatória com função de densidade constante na região
. Determine:
b)
b)