A distribuição conjunta de
e
é dada por
na região
, tal que
. Analise se
e
são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar se as variáveis aleatórias
e
são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é
na região onde
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes na estatística e como verificar essa independência usando a distribuição conjunta e as distribuições marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência entre duas variáveis aleatórias. Duas variáveis
e
são independentes se e somente se a distribuição conjunta
for igual ao produto das distribuições marginais de
e
. Em termos de fórmula, isso significa:
onde
e
são as distribuições marginais de
e
, respectivamente.
Passo 3
Então, nosso próximo passo é encontrar as distribuições marginais
e
. A distribuição marginal de
é obtida integrando a distribuição conjunta em relação a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Vamos resolver a integral para
:
Primeiro, expandimos o integrando:
Então, a integral fica:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distribuição marginal de
,
, integrando a distribuição conjunta em relação a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Resolvendo a integral para
:
Integrando:
Então:
Passo 7
Agora que temos as distribuições marginais
e
, vamos verificar se o produto delas é igual à distribuição conjunta
.
Calculando o produto das marginais:
Comparando com
, vemos que:
A menos que haja condições específicas onde possa ser igual, o que não ocorre de forma geral na região dada.
Resposta
As variáveis aleatórias
e
não são independentes, já que a distribuição conjunta não é igual ao produto das distribuições marginais.