Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória
e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória
. Verifique se
e
são independentes se a distribuição conjunta de (
) é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias na universidade:
, que representa a proporção de alunos com bolsas de estudo integrais, e
, que representa a proporção com bolsas parciais. A gente precisa descobrir se
e
são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é:
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis aleatórias
e
são independentes se, para todo
e
, a função de distribuição conjunta
for igual ao produto das distribuições marginais de
e
:
Então, para verificar a independência, precisamos calcular as distribuições marginais de
e
e ver se o produto delas dá a distribuição conjunta.
Passo 3
Vamos calcular a função marginal de
,
. Isso é feito inteirando a distribuição conjunta em relação a
:
Vamos resolver essa integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a função marginal de
,
, inteirando a distribuição conjunta em relação a
:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos verificar se o produto dessas duas marginais é igual à distribuição conjunta
:
Vamos expandir o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, compare isso com a distribuição conjunta dada:
Para que
e
sejam independentes, deveríamos ter:
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira para todo
e
.
Multiplicando ambos os lados por 25 para simplificar:
Essa igualdade só seria verdadeira se os coeficientes de
,
, e os termos constantes fossem iguais nos dois lados. No entanto:
- O termo com
: vs → diferente - O termo com
: vs → diferente - Termo constante:
vs → diferente
Resposta
Como as distribuições marginais multiplicadas não são iguais à distribuição conjunta, concluímos que
e
não são independentes.
Exercícios relacionados
A distribuição conjunta de
e
é dada por
na região
, tal que
. Analise se
e
são independentes.
Em um laranjal existem 10000 pés de laranja. A probabilidade de uma laranja estar pronta para a colheita numa determinada época é igual a 0,8 . Sabendo-se que o número N de laranjas por pé segue uma lei de Poisson (15), determinar a produção média total de laranjas que deverão ser colhidas naquela época.
Seja
uma variável aleatória com função de densidade constante na região
. Determine:
b)
b)
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de
, baseado em uma amostra aleatória de tamanho
.