Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória X e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória Y. Verifique se X e Y são independentes se a distribuição conjunta de ( X, Y ) é:
f(x, y)=cc 25(x+4 y) & 0á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias na universidade: f(x,y)= 25(x + 4y) & para 0 < x < 1 e 0 < y < 1 0 & caso contrário , que representa a proporção de alunos com bolsas de estudo integrais, e , que representa a proporção com bolsas parciais. A gente precisa descobrir se e são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é:
á
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis aleatórias f(x,y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se, para todo e , a função de distribuição conjunta for igual ao produto das distribuições marginais de e :
Então, para verificar a independência, precisamos calcular as distribuições marginais de e e ver se o produto delas dá a distribuição conjunta.

Passo 3

Vamos calcular a função marginal de fX(x) = integral0^1 f(x,y) , dy = integral0^1 25(x + 4y) , dy , fX(x) = 25 [ integral0^1 x , dy + integral0^1 4y , dy ] . Isso é feito inteirando a distribuição conjunta em relação a fX(x) = 25 [ x cdot (1 - 0) + 4 cdot ( 1^22 - 0^22 ) ] :
fX(x) = 25 (x + 2) = 2x + 45
Vamos resolver essa integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a função marginal de fY(y) = integral0^1 f(x,y) , dx = integral0^1 25(x + 4y) , dx , fY(y) = 25 [ integral0^1 x , dx + integral0^1 4y , dx ] , inteirando a distribuição conjunta em relação a fY(y) = 25 [ 1^22 - 0^22 + 4y cdot (1 - 0) ] :
fY(y) = 25 ( 12 + 4y ) = 1 + 8y5
Resolvendo a integral:

Passo 5

Agora que temos fX(x) cdot fY(y) = ( 2x + 45 ) cdot ( 1 + 8y5 ) = (2x + 4)(1 + 8y)25 e (2x + 4)(1 + 8y) = 2x cdot 1 + 2x cdot 8y + 4 cdot 1 + 4 cdot 8y = 2x + 16xy + 4 + 32y , vamos verificar se o produto dessas duas marginais é igual à distribuição conjunta fX(x) cdot fY(y) = 2x + 16xy + 4 + 32y25 :
Vamos expandir o numerador:
Então:

Passo 6

Agora, compare isso com a distribuição conjunta dada:
f(x,y) = 25(x + 4y)
Para que f(x,y) = fX(x) cdot fY(y) Rightarrow 25(x + 4y) = 2x + 16xy + 4 + 32y25 e 25 cdot 25(x + 4y) = 2x + 16xy + 4 + 32y sejam independentes, deveríamos ter:
5 cdot 2(x + 4y) = 2x + 16xy + 4 + 32y
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira para todo 10x + 40y = 2x + 16xy + 4 + 32y e .
Multiplicando ambos os lados por 25 para simplificar:
Essa igualdade só seria verdadeira se os coeficientes de , , e os termos constantes fossem iguais nos dois lados. No entanto:
  • O termo com : vs → diferente
  • O termo com : vs → diferente
  • Termo constante: vs → diferente

Resposta

Como as distribuições marginais multiplicadas não são iguais à distribuição conjunta, concluímos que e não são independentes.

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