Em uma universidade, a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos integrais é uma variável aleatória e a proporção de alunos premiados com bolsas de estudos parciais é uma variável aleatória . Verifique se e são independentes se a distribuição conjunta de ( ) é:
á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias na universidade: , que representa a proporção de alunos com bolsas de estudo integrais, e , que representa a proporção com bolsas parciais. A gente precisa descobrir se e são independentes, dado que a distribuição conjunta delas é:
á
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis aleatórias e são independentes se, para todo e , a função de distribuição conjunta for igual ao produto das distribuições marginais de e :
Então, para verificar a independência, precisamos calcular as distribuições marginais de e e ver se o produto delas dá a distribuição conjunta.

Passo 3

Vamos calcular a função marginal de , . Isso é feito inteirando a distribuição conjunta em relação a :
Vamos resolver essa integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a função marginal de , , inteirando a distribuição conjunta em relação a :
Resolvendo a integral:

Passo 5

Agora que temos e , vamos verificar se o produto dessas duas marginais é igual à distribuição conjunta :
Vamos expandir o numerador:
Então:

Passo 6

Agora, compare isso com a distribuição conjunta dada:
Para que e sejam independentes, deveríamos ter:
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira para todo e .
Multiplicando ambos os lados por 25 para simplificar:
Essa igualdade só seria verdadeira se os coeficientes de , , e os termos constantes fossem iguais nos dois lados. No entanto:
  • O termo com : vs → diferente
  • O termo com : vs → diferente
  • Termo constante: vs → diferente

Resposta

Como as distribuições marginais multiplicadas não são iguais à distribuição conjunta, concluímos que e não são independentes.

Exercícios relacionados

A distribuição conjunta de e é dada por na região , tal que . Analise se e são independentes.
Em um laranjal existem 10000 pés de laranja. A probabilidade de uma laranja estar pronta para a colheita numa determinada época é igual a 0,8 . Sabendo-se que o número N de laranjas por pé segue uma lei de Poisson (15), determinar a produção média total de laranjas que deverão ser colhidas naquela época.
Seja uma variável aleatória com função de densidade constante na região . Determine:
b)
á
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de , baseado em uma amostra aleatória de tamanho .