Seja (X, Y) uma variável aleatória com função de densidade constante na região A=(x, y) / 0. Determine:
b) f(Y / X)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória contínua com uma função de densidade constante na região . O conteúdo envolvido aqui é de probabilidade condicional e funções de densidade conjunta e marginal. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a densidade condicional .

Passo 2

Primeiro, como a função de densidade conjunta fX,Y(x, y) = c para 0 < x < 2 e 0 < y < x^2 é constante na região , vamos chamar essa constante de . Ou seja,

Passo 3

Para encontrar o valor de integral0^2 integral0^x^2 c , dy , dx = 1 , sabemos que a integral da função de densidade conjunta sobre toda a região integral0^2 ( integral0^x^2 c , dy ) dx = integral0^2 c cdot x^2 , dx = c cdot [ x^33 ]0^2 = c cdot ( 83 ) = 1 deve ser igual a 1. Então,
c = 38
Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a densidade marginal de fX(x) = integral0^x^2 fX,Y(x, y) , dy = integral0^x^2 38 , dy = 38 cdot x^2 , fX(x) = 38x^2 para 0 < x < 2 . Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade condicional f(Y|X)(y|x) = fX,Y(x, y)fX(x) . A fórmula para a densidade condicional é:
f(Y|X)(y|x) = 3838x^2 = 1x^2
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A densidade condicional de f(Y|X)(y|x) = 1x^2 para 0 < y < x^2 dado é:

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