Uma distribuição esférica de carga com raio R é descrita pela densidade volumar: rho(r)=rho0 e^-alpha ralpha r, entre 0, onde r é a distância radial ao centro desta distribuição, rho0 e alpha duas constantes. Determine (a) a carga total associada, (b) a intensidade do campo elétrico e © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício da disciplina de Eletrostática, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. O problema fala sobre uma distribuição esférica de carga com raio e uma densidade volumar de carga dada por , onde é a distância do centro da esfera. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a carga total associada a essa distribuição.
b) Determinar a intensidade do campo elétrico.
c) Calcular o potencial elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e leis de Coulomb e Gauss da eletrostática.

Passo 2

Parte a: Carga Total
Primeiro, vamos encontrar a carga total Q = integralV rho(r) , dV na distribuição. A carga total é obtida integrando a densidade de carga dV = 4pi r^2 dr sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Q = integral0^R rho0 e^-alpha ralpha r cdot 4pi r^2 dr
Como a distribuição é esférica e a densidade depende apenas da distância Q = 4pi rho0alpha integral0^R r e^-alpha r dr , podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Substituindo e na integral:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a integral .

Passo 3

Para resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = r Rightarrow du = dr
Escolhemos:
dv = e^-alpha r dr Rightarrow v = -1alpha e^-alpha r
integral r e^-alpha r dr = -ralpha e^-alpha r + 1alpha integral e^-alpha r dr
Aplicando a integração por partes:
= -ralpha e^-alpha r - 1alpha^2 e^-alpha r + C
integral0^R r e^-alpha r dr = [ -Ralpha e^-alpha R - 1alpha^2 e^-alpha R ] - [ 0 - 1alpha^2 ]
Agora, aplicamos os limites de 0 a = -Ralpha e^-alpha R - 1alpha^2 e^-alpha R + 1alpha^2 :
= 1alpha^2 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R))

Passo 4

Voltando à expressão da carga total Q = 4pi rho0alpha cdot 1alpha^2 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R)) :
= 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R))

Resposta

A carga total associada à distribuição é:
Q = 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R))

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