Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada, (b) a intensidade do campo elétrico e © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício da disciplina de Eletrostática, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. O problema fala sobre uma distribuição esférica de carga com raio e uma densidade volumar de carga dada por , onde é a distância do centro da esfera. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a carga total associada a essa distribuição.
b) Determinar a intensidade do campo elétrico.
c) Calcular o potencial elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e leis de Coulomb e Gauss da eletrostática.

Passo 2

Parte a: Carga Total
Primeiro, vamos encontrar a carga total na distribuição. A carga total é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Como a distribuição é esférica e a densidade depende apenas da distância , podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Substituindo e na integral:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a integral .

Passo 3

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de 0 a :

Passo 4

Voltando à expressão da carga total :

Resposta

A carga total associada à distribuição é:

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Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto .
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
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