Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (a) a carga total associada, (b) a intensidade do campo elétrico e © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício da disciplina de Eletrostática, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. O problema fala sobre uma distribuição esférica de carga com raio
e uma densidade volumar de carga dada por
, onde
é a distância do centro da esfera. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a carga total associada a essa distribuição.
b) Determinar a intensidade do campo elétrico.
c) Calcular o potencial elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição de carga.
b) Determinar a intensidade do campo elétrico.
c) Calcular o potencial elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e leis de Coulomb e Gauss da eletrostática.
Passo 2
Parte a: Carga Total
Primeiro, vamos encontrar a carga total
na distribuição. A carga total é obtida integrando a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera.
A fórmula para a carga total é:
Como a distribuição é esférica e a densidade depende apenas da distância
, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é:
Substituindo
e
na integral:
Simplificando:
Agora, vamos resolver a integral
.
Passo 3
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 4
Voltando à expressão da carga total
:
Resposta
A carga total associada à distribuição é:
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Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto
.
Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
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