Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma distribuição esférica de carga com raio
, e a densidade volumétrica é dada por:
onde
é a distância radial ao centro da distribuição, e
e
são constantes. Precisamos determinar a intensidade do campo elétrico
tanto dentro quanto fora dessa distribuição. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é muito útil para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como distribuições esféricas.
Passo 2
Vamos começar calculando o campo elétrico dentro da distribuição, ou seja, para
. A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Como a distribuição é esférica e o campo elétrico
será radialmente simétrico, a integral de superfície simplifica para:
Então, o campo elétrico será:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro do raio
. Isso é obtido integrando a densidade de carga volumétrica:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão do campo elétrico:
Passo 7
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da distribuição, ou seja, para
. Neste caso, toda a carga da distribuição está dentro da superfície gaussiana. Então, a carga total
é:
Já calculamos essa integral no Passo 4, então:
Passo 8
Aplicamos a Lei de Gauss fora da distribuição:
Resposta
A intensidade do campo elétrico
é dada por:
- Dentro da distribuição (
):
- Fora da distribuição (
):
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Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (a) a carga total associada.
O potencial elétrico gerado por uma dipolo é dado por:
Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto
.
Uma distribuição esférica de carga com raio
é descrita pela densidade volumar:
, entre
, onde
é a distância radial ao centro desta distribuição,
e
duas constantes. Determine (a) a carga total associada, (b) a intensidade do campo elétrico e © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.