Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma distribuição esférica de carga com raio , e a densidade volumétrica é dada por:
onde é a distância radial ao centro da distribuição, e e são constantes. Precisamos determinar a intensidade do campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é muito útil para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como distribuições esféricas.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico dentro da distribuição, ou seja, para . A Lei de Gauss nos diz que:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.
Como a distribuição é esférica e o campo elétrico será radialmente simétrico, a integral de superfície simplifica para:
Então, o campo elétrico será:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro do raio . Isso é obtido integrando a densidade de carga volumétrica:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Avaliando de 0 a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão do campo elétrico:

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da distribuição, ou seja, para . Neste caso, toda a carga da distribuição está dentro da superfície gaussiana. Então, a carga total é:
Já calculamos essa integral no Passo 4, então:

Passo 8

Aplicamos a Lei de Gauss fora da distribuição:

Resposta

A intensidade do campo elétrico é dada por:
  • Dentro da distribuição ( ):
  • Fora da distribuição ( ):

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Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada.
O potencial elétrico gerado por uma dipolo é dado por:
Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto .
Uma distribuição esférica de carga com raio é descrita pela densidade volumar: , entre , onde é a distância radial ao centro desta distribuição, e duas constantes. Determine (a) a carga total associada, (b) a intensidade do campo elétrico e © o potencial elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.