Uma distribuição esférica de carga com raio R é descrita pela densidade volumar: rho(r)=rho0 e^-alpha ralpha r, entre 0, onde r é a distância radial ao centro desta distribuição, rho0 e alpha duas constantes. Determine (b) a intensidade do campo elétrico dentro e fora desta distribuição de carga.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma distribuição esférica de carga com raio rho(r) = rho0 e^-alpha ralpha r , e a densidade volumétrica é dada por:
onde é a distância radial ao centro da distribuição, e e são constantes. Precisamos determinar a intensidade do campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa distribuição. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é muito útil para calcular campos elétricos em situações de alta simetria, como distribuições esféricas.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico dentro da distribuição, ou seja, para oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 . A Lei de Gauss nos diz que:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
onde E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2 é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.
Como a distribuição é esférica e o campo elétrico será radialmente simétrico, a integral de superfície simplifica para:
Então, o campo elétrico será:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a carga total Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' dentro do raio Qenc = integral0^r rho0 e^-alpha r'alpha r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0alpha integral0^r r' e^-alpha r' dr' . Isso é obtido integrando a densidade de carga volumétrica:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral r' e^-alpha r' dr'
Usando integração por partes, onde:
u = r' Rightarrow du = dr' dv = e^-alpha r' dr' Rightarrow v = -1alpha e^-alpha r'
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = -r'alpha e^-alpha r' + 1alpha integral e^-alpha r' dr'
= -r'alpha e^-alpha r' - 1alpha^2 e^-alpha r' + C
Avaliando de 0 a integral0^r r' e^-alpha r' dr' = -ralpha e^-alpha r - 1alpha^2 e^-alpha r + 1alpha^2 :
= 1alpha^2 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r))

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para Qenc = 4pi rho0alpha cdot 1alpha^2 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r)) :
= 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r))

Passo 6

Agora, substituímos E(r) = 14pi varepsilon0 r^2 cdot 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r)) na expressão do campo elétrico:
E(r) = rho0varepsilon0 alpha^3 r^2 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r))

Passo 7

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da distribuição, ou seja, para Qtotal = integral0^R rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0alpha integral0^R r' e^-alpha r' dr' . Neste caso, toda a carga da distribuição está dentro da superfície gaussiana. Então, a carga total Qtotal = 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R)) é:
Já calculamos essa integral no Passo 4, então:

Passo 8

Aplicamos a Lei de Gauss fora da distribuição:
E(r) = Qtotal4pi varepsilon0 r^2 = 14pi varepsilon0 r^2 cdot 4pi rho0alpha^3 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R))
E(r) = rho0varepsilon0 alpha^3 r^2 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R))

Resposta

A intensidade do campo elétrico E(r) = rho0varepsilon0 alpha^3 r^2 (1 - e^-alpha r (1 + alpha r)) é dada por:
  • Dentro da distribuição ( E(r) = rho0varepsilon0 alpha^3 r^2 (1 - e^-alpha R (1 + alpha R)) ):
  • Fora da distribuição ( ):

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