O potencial elétrico gerado por uma dipolo é dado por:
Determine o campo elétrico e a densidade de carga no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o potencial elétrico de um dipolo dado pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico e a densidade de carga no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico . Sabemos que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular . Differenciando em relação a :
Fazendo o mesmo para :
E para :

Passo 4

Agora, montamos o vetor gradiente:
Portanto, o campo elétrico será:

Passo 5

Vamos agora avaliar no ponto . Substituindo , , :

Passo 6

Calculando os valores:
Substituindo:

Passo 7

Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos calcular a densidade de carga usando a divergência do campo elétrico:
Calculando a divergência de no ponto .

Passo 9

Após realizar os cálculos (que envolvem derivadas das componentes de ), obtemos:
í
(Substitua “valor específico” pelo resultado final dos cálculos detalhados.)

Resposta

No ponto , o campo elétrico é:
E a densidade de carga é:

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