Em uma distribuição de frequências de amplitudes de classes iguais, sabe-se que o ponto médio da classe vale 4 e o da classe, 24 . Se as frequências absolutas, que vão da a classes, são iguais a , respectivamente, determine:
(a) a média, a moda, a mediana, o desvio padrão amostral;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma distribuição de frequência com classes de mesma amplitude. Sabemos que o ponto médio da 1ª classe é 4 e o da 6ª classe é 24. As frequências absolutas dessas classes são 2, 5, 8, 9, 13, 3, respectivamente. Nosso objetivo aqui é encontrar a média, a moda, a mediana e o desvio padrão amostral dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a amplitude de cada classe. Como sabemos os pontos médios da 1ª e 6ª classes, podemos calcular a largura das classes. A diferença entre os pontos médios é 24 - 4 = 20. Como temos 5 intervalos entre a 1ª e a 6ª classe, a amplitude de cada classe é:
Passo 3
Agora, vamos listar todas as classes com seus respectivos limites e pontos médios:
1ª classe: Ponto médio = 4, amplitude = 4 → Limites: 2 a 6
2ª classe: Ponto médio = 8, amplitude = 4 → Limites: 6 a 10
3ª classe: Ponto médio = 12, amplitude = 4 → Limites: 10 a 14
4ª classe: Ponto médio = 16, amplitude = 4 → Limites: 14 a 18
5ª classe: Ponto médio = 20, amplitude = 4 → Limites: 18 a 22
6ª classe: Ponto médio = 24, amplitude = 4 → Limites: 22 a 26
Passo 4
Vamos calcular a média utilizando a fórmula:
Onde são as frequências e são os pontos médios.
Calculando:
é
Passo 5
Para encontrar a mediana, precisamos identificar a classe que contém o valor central. Como temos 40 observações, a posição da mediana é a 20ª dado (pois ).
Construindo a tabela de frequência acumulada:
Classe
Frequência ()
Frequência Acumulada ()
1
2
2
2
5
7
3
8
15
4
9
24
5
13
37
6
3
40
A 20ª observação está na 4ª classe (frequência acumulada até a 3ª classe é 15, e até a 4ª é 24).
Agora, aplicamos a fórmula da mediana:
Onde:
(limite inferior da classe da mediana)
(frequência acumulada antes da classe da mediana)
(frequência da classe da mediana)
(amplitude da classe)
Calculando:
Passo 6
A moda é o valor mais frequente. Observando as frequências, a maior frequência é 13, que corresponde à 5ª classe (ponto médio 20). Portanto, a moda é 20.
Passo 7
Vamos calcular o desvio padrão amostral usando a fórmula: