Em uma distribuição de frequências de amplitudes de classes iguais, sabe-se que o ponto médio da 1^a classe vale 4 e o da 6^a classe, 24 . Se as frequências absolutas, que vão da 1^ a a 6^ a classes, são iguais a 2,5,8,9,13,3, respectivamente, determine:
(a) a média, a moda, a mediana, o desvio padrão amostral;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma distribuição de frequência com classes de mesma amplitude. Sabemos que o ponto médio da 1ª classe é 4 e o da 6ª classe é 24. As frequências absolutas dessas classes são 2, 5, 8, 9, 13, 3, respectivamente. Nosso objetivo aqui é encontrar a média, a moda, a mediana e o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a amplitude de cada classe. Como sabemos os pontos médios da 1ª e 6ª classes, podemos calcular a largura das classes. A diferença entre os pontos médios é 24 - 4 = 20. Como temos 5 intervalos entre a 1ª e a 6ª classe, a amplitude de cada classe é:
Amplitude da classe = 205 = 4

Passo 3

Agora, vamos listar todas as classes com seus respectivos limites e pontos médios:
  • 1ª classe: Ponto médio = 4, amplitude = 4 → Limites: 2 a 6
  • 2ª classe: Ponto médio = 8, amplitude = 4 → Limites: 6 a 10
  • 3ª classe: Ponto médio = 12, amplitude = 4 → Limites: 10 a 14
  • 4ª classe: Ponto médio = 16, amplitude = 4 → Limites: 14 a 18
  • 5ª classe: Ponto médio = 20, amplitude = 4 → Limites: 18 a 22
  • 6ª classe: Ponto médio = 24, amplitude = 4 → Limites: 22 a 26

Passo 4

Vamos calcular a média utilizando a fórmula:
Média (x) = sum fi cdot xisum fi é
Onde sum fi cdot xi = (2 times 4) + (5 times 8) + (8 times 12) + (9 times 16) + (13 times 20) + (3 times 24) = 8 + 40 + 96 + 144 + 260 + 72 = 620 são as frequências e sum fi = 2 + 5 + 8 + 9 + 13 + 3 = 40 são os pontos médios.
Calculando:
Média = 62040 = 15,5
é

Passo 5

Para encontrar a mediana, precisamos identificar a classe que contém o valor central. Como temos 40 observações, a posição da mediana é a 20ª dado (pois Mediana = L + ( N2 - Ff ) times h ).
Construindo a tabela de frequência acumulada:
Classe Frequência ( Mediana = 14 + ( 20 - 159 ) times 4 = 14 + ( 59 ) times 4 approx 14 + 2,22 = 16,22 ) Frequência Acumulada ( )
1 2 2
2 5 7
3 8 15
4 9 24
5 13 37
6 3 40
A 20ª observação está na 4ª classe (frequência acumulada até a 3ª classe é 15, e até a 4ª é 24).
Agora, aplicamos a fórmula da mediana:
Onde:
  • (limite inferior da classe da mediana)
  • (frequência acumulada antes da classe da mediana)
  • (frequência da classe da mediana)
  • (amplitude da classe)
Calculando:

Passo 6

A moda é o valor mais frequente. Observando as frequências, a maior frequência é 13, que corresponde à 5ª classe (ponto médio 20). Portanto, a moda é 20.

Passo 7

Vamos calcular o desvio padrão amostral usando a fórmula:
s = raizsum fi (xi - x)^2sum fi - 1
Primeiro, calculamos (4 - 15,5)^2 &= 132,25 (8 - 15,5)^2 &= 56,25 (12 - 15,5)^2 &= 12,25 (16 - 15,5)^2 &= 0,25 (20 - 15,5)^2 &= 20,25 (24 - 15,5)^2 &= 72,25 para cada classe:
sum fi (xi - x)^2 = (2 times 132,25) + (5 times 56,25) + (8 times 12,25) + (9 times 0,25) + (13 times 20,25) + (3 times 72,25)
Multiplicando por = 264,5 + 281,25 + 98 + 2,25 + 263,25 + 216,75 = 1126 :
s = raiz112640 - 1 = raiz112639 approx raiz28,87 approx 5,37
Agora, aplicamos na fórmula:

Resposta

  • Média: 15,5
  • Mediana: 16,22
  • Moda: 20
  • Desvio Padrão Amostral: 5,37

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