Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine: c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma moeda viciada onde a probabilidade de sair cara é . Estamos lançando essa moeda repetidamente até que apareça a primeira cara. A variável aleatória representa o número de lançamentos necessários para obter essa primeira cara. Queremos encontrar a probabilidade de que a moeda seja lançada pelo menos 2 vezes, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que a primeira cara não ocorreu no primeiro lançamento. Em termos de probabilidade, isso é igual a menos a probabilidade de a cara sair no primeiro lançamento.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de sair cara em um único lançamento é . Portanto, a probabilidade de não sair cara (ou seja, sair coroa) é .

Passo 4

Assim, a probabilidade de a moeda ser lançada pelo menos 2 vezes é simplesmente a probabilidade de não sair cara no primeiro lançamento, que calculamos como .

Resposta

A probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes é .

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