Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma moeda viciada onde a probabilidade de sair cara é
. Estamos lançando essa moeda repetidamente até que apareça a primeira cara. A variável aleatória
representa o número de lançamentos necessários para obter essa primeira cara. Queremos encontrar a probabilidade de que a moeda seja lançada pelo menos 2 vezes, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que a primeira cara não ocorreu no primeiro lançamento. Em termos de probabilidade, isso é igual a
menos a probabilidade de a cara sair no primeiro lançamento.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de sair cara em um único lançamento é
. Portanto, a probabilidade de não sair cara (ou seja, sair coroa) é
.
Passo 4
Assim, a probabilidade de a moeda ser lançada pelo menos 2 vezes é simplesmente a probabilidade de não sair cara no primeiro lançamento, que calculamos como
.
Resposta
A probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes é
.
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