Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R
. Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de
em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de
; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: b) a probabilidade do custo ser no máximo
;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um experimento que custa R$ 1000,00 para cada tentativa. Se a tentativa falhar, a gente precisa gastar mais R$ 300,00 para fazer algumas alterações antes de tentar de novo. A chance de sucesso em cada tentativa é de 20%. As tentativas são independentes, ou seja, o resultado de uma não afeta o outro. Queremos descobrir qual é a probabilidade de o custo total não ultrapassar R$ 3600,00.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição geométrica, que lida com o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o custo total está relacionado ao número de tentativas. Cada tentativa custa R$ 1000,00. Se uma tentativa falha, precisamos adicionar R$ 300,00 para as alterações antes da próxima tentativa. Então, para cada tentativa além da primeira que falha, adicionamos R$ 1300,00 (R$ 1000,00 + R$ 300,00).
Podemos expressar o custo total
em função do número de tentativas
da seguinte maneira:
Queremos que esse custo seja no máximo R$���3600,00:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o número máximo de tentativas permitidas:
Subtraímos 1000 de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por 1300:
Adicionamos 1 em ambos os lados:
Isso significa que podemos ter no máximo 3 tentativas sem exceder o custo de R$ 3600,00.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de obter sucesso nas primeiras 3 tentativas. Usaremos a distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso na
-ésima tentativa é dada por:
onde
(probabilidade de sucesso) e
é o número de tentativas.
Vamos calcular para
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de sucesso nas primeiras 3 tentativas:
Resposta
A probabilidade de o custo ser no máximo R$ 3600,00 é de 48,8%.
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, ou seja, ocorre
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ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
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é dada por
pois se
, nas
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e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
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