Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R . Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de 300,00; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: b) a probabilidade do custo ser no máximo 20 %;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um experimento que custa R$ 1000,00 para cada tentativa. Se a tentativa falhar, a gente precisa gastar mais R$ 300,00 para fazer algumas alterações antes de tentar de novo. A chance de sucesso em cada tentativa é de 20%. As tentativas são independentes, ou seja, o resultado de uma não afeta o outro. Queremos descobrir qual é a probabilidade de o custo total não ultrapassar R$ 3600,00.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição geométrica, que lida com o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o custo total está relacionado ao número de tentativas. Cada tentativa custa R$ 1000,00. Se uma tentativa falha, precisamos adicionar R$ 300,00 para as alterações antes da próxima tentativa. Então, para cada tentativa além da primeira que falha, adicionamos R$ 1300,00 (R$ 1000,00 + R$ 300,00).
Podemos expressar o custo total 1000,00 Se uma tentativa falha, precisamos adicionar R em função do número de tentativas 1300,00 (R da seguinte maneira:
300,00) Podemos expressar o custo total ( C ) em função do número de tentativas ( n ) da seguinte maneira: [ C = 1000 + (n - 1) times 1300 ] Queremos que esse custo seja no máximo R
Queremos que esse custo seja no máximo R$���3600,00:
1000 + (n - 1) times 1300 <= 3600

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o número máximo de tentativas permitidas:
1000 + (n - 1) times 1300 <= 3600
Subtraímos 1000 de ambos os lados:
(n - 1) times 1300 <= 2600
Dividimos ambos os lados por 1300:
n - 1 <= 2
Adicionamos 1 em ambos os lados:
n <= 3
Isso significa que podemos ter no máximo 3 tentativas sem exceder o custo de R$ 3600,00.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter sucesso nas primeiras 3 tentativas. Usaremos a distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso na P(N = n) = (1 - p)^n - 1 times p -ésima tentativa é dada por:
P(N = 1) = (0.8)^0 times 0.2 = 1 times 0.2 = 0.2
onde P(N = 2) = (0.8)^1 times 0.2 = 0.8 times 0.2 = 0.16 (probabilidade de sucesso) e P(N = 3) = (0.8)^2 times 0.2 = 0.64 times 0.2 = 0.128 é o número de tentativas.
Vamos calcular para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de sucesso nas primeiras 3 tentativas:
P(N <= 3) = P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3)
P(N <= 3) = 0.2 + 0.16 + 0.128
P(N <= 3) = 0.488

Resposta

A probabilidade de o custo ser no máximo R$ 3600,00 é de 48,8%.

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