Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R . Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de ; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: b) a probabilidade do custo ser no máximo ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um experimento que custa R$ 1000,00 para cada tentativa. Se a tentativa falhar, a gente precisa gastar mais R$ 300,00 para fazer algumas alterações antes de tentar de novo. A chance de sucesso em cada tentativa é de 20%. As tentativas são independentes, ou seja, o resultado de uma não afeta o outro. Queremos descobrir qual é a probabilidade de o custo total não ultrapassar R$ 3600,00.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição geométrica, que lida com o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o custo total está relacionado ao número de tentativas. Cada tentativa custa R$ 1000,00. Se uma tentativa falha, precisamos adicionar R$ 300,00 para as alterações antes da próxima tentativa. Então, para cada tentativa além da primeira que falha, adicionamos R$ 1300,00 (R$ 1000,00 + R$ 300,00).
Podemos expressar o custo total em função do número de tentativas da seguinte maneira:
Queremos que esse custo seja no máximo R$���3600,00:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o número máximo de tentativas permitidas:
Subtraímos 1000 de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por 1300:
Adicionamos 1 em ambos os lados:
Isso significa que podemos ter no máximo 3 tentativas sem exceder o custo de R$ 3600,00.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter sucesso nas primeiras 3 tentativas. Usaremos a distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso na -ésima tentativa é dada por:
onde (probabilidade de sucesso) e é o número de tentativas.
Vamos calcular para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de sucesso nas primeiras 3 tentativas:

Resposta

A probabilidade de o custo ser no máximo R$ 3600,00 é de 48,8%.

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