Num teste tipo certo/errado, com 10 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte
das questões, supondo que ele as responda ao acaso?
Passo 1
Então, temos um teste com 10 questões de verdadeiro ou falso. A gente quer descobrir a probabilidade de um aluno acertar exatamente 70% das questões, ou seja, 7 respostas certas, supondo que ele está respondendo aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar um conceito de probabilidade chamado probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois possíveis resultados (certo ou errado).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é dada por:
Aqui,
-
é o número total de tentativas (no nosso caso, 10 questões), -
é o número de sucessos desejados (7 acertos), -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (acertar uma questão aleatoriamente, que é 0,5).
A parte
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher
sucessos em
tentativas.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente binomial primeiro. Ele é calculado assim:
Calculando os fatoriais:
-
- Então,
- E
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Finalmente, multiplicamos tudo para encontrar a probabilidade:
Primeiro, multiplicamos 120 por 0,0078125:
Depois, multiplicamos esse resultado por 0,125:
Resposta
A probabilidade de o aluno acertar exatamente 70% das questões, respondendo aleatoriamente, é de aproximadamente 11,72%.
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.
.
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a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
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ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
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;