Num teste tipo certo/errado, com 10 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 70 % das questões, supondo que ele as responda ao acaso?

Passo 1

Então, temos um teste com 10 questões de verdadeiro ou falso. A gente quer descobrir a probabilidade de um aluno acertar exatamente 70% das questões, ou seja, 7 respostas certas, supondo que ele está respondendo aleatoriamente. Para resolver isso, vamos usar um conceito de probabilidade chamado probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois possíveis resultados (certo ou errado).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela é dada por:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Aqui,
  • é o número total de tentativas (no nosso caso, 10 questões),
  • é o número de sucessos desejados (7 acertos),
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (acertar uma questão aleatoriamente, que é 0,5).
A parte é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial primeiro. Ele é calculado assim:
binom107 = 10!7! cdot (10 - 7)! = 10!7! cdot 3!
Calculando os fatoriais:
  • binom107 = 7206 = 120
  • Então,
  • E
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular p^k = 0,5^7 = 0,0078125 e (1 - p)^n - k = 0,5^3 = 0,125 :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos tudo para encontrar a probabilidade:
P(X = 7) = 120 times 0,0078125 times 0,125
Primeiro, multiplicamos 120 por 0,0078125:
120 times 0,0078125 = 0,9375
Depois, multiplicamos esse resultado por 0,125:
0,9375 times 0,125 = 0,1171875

Resposta

A probabilidade de o aluno acertar exatamente 70% das questões, respondendo aleatoriamente, é de aproximadamente 11,72%.

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