Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine: a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de precisar exatamente 3 lançamentos de uma moeda viciada para obter a primeira cara. Estamos trabalhando com Distribuição Geométrica, que é usada para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da função de probabilidade da distribuição geométrica:
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p
onde é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, identifique os valores que temos:
  • A probabilidade de dar cara é .
  • Queremos saber a probabilidade de precisar de exatamente lançamentos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da função de probabilidade:
P(X=3) = (1-p)^3-1 cdot p = (1-p)^2 cdot p

Passo 4

Substitua P(X=3) = (1 - 23)^2 cdot 23 pelo valor dado:

Passo 5

Calcule 1 - 23 = 13 :
P(X=3) = (13)^2 cdot 23
Então:

Passo 6

Eleve (13)^2 = 19 ao quadrado:
P(X=3) = 19 cdot 23 = 227
Agora, multiplique por :

Resposta

A probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos para obter a primeira cara é .

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