Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento com probabilidade ou não ocorra , ou seja, ocorre com probabilidade . Repetimos o experimento de forma independente até que o evento ocorra pela primeira vez. Seja número de repetições até que se obtenha pela primeira vez. Então a função de probabilidade de é dada por
pois se , nas repetições não ocorre, ocorrendo na -ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição geométrica com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que e . A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela vez, determine: a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de precisar exatamente 3 lançamentos de uma moeda viciada para obter a primeira cara. Estamos trabalhando com Distribuição Geométrica, que é usada para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da função de probabilidade da distribuição geométrica:
onde é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, identifique os valores que temos:
  • A probabilidade de dar cara é .
  • Queremos saber a probabilidade de precisar de exatamente lançamentos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da função de probabilidade:

Passo 4

Substitua pelo valor dado:

Passo 5

Calcule :
Então:

Passo 6

Eleve ao quadrado:
Agora, multiplique por :

Resposta

A probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos para obter a primeira cara é .

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Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento com probabilidade ou não ocorra , ou seja, ocorre com probabilidade . Repetimos o experimento de forma independente até que o evento ocorra pela primeira vez. Seja número de repetições até que se obtenha pela primeira vez. Então a função de probabilidade de é dada por
pois se , nas repetições não ocorre, ocorrendo na -ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição geométrica com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que e . A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela vez, determine: d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
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