Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de precisar exatamente 3 lançamentos de uma moeda viciada para obter a primeira cara. Estamos trabalhando com Distribuição Geométrica, que é usada para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da função de probabilidade da distribuição geométrica:
onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, identifique os valores que temos:
- A probabilidade de dar cara é
. - Queremos saber a probabilidade de precisar de exatamente
lançamentos.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da função de probabilidade:
Passo 4
Substitua
pelo valor dado:
Passo 5
Calcule
:
Então:
Passo 6
Eleve
ao quadrado:
Agora, multiplique por
:
Resposta
A probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos para obter a primeira cara é
.