Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine: d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma moeda viciada onde a chance de sair cara é . A gente vai lançar essa moeda repetidamente, de forma independente, até conseguir a primeira cara. Queremos descobrir qual é o número mínimo de lançamentos necessário para garantir que a primeira cara apareça com pelo menos 80% de probabilidade. Vamos usar a Distribuição Geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Distribuição Geométrica. Ela nos dá a probabilidade de precisar de exatamente P(X = k) = (1 - p)^k-1 cdot p tentativas para obter o primeiro sucesso (no nosso caso, a primeira cara). A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Mas a gente quer a probabilidade de obter pelo menos uma cara em até P(X <= k) = 1 - (1 - p)^k lançamentos. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada da Distribuição Geométrica, que é:
1 - (1 - p)^k >= 0,8
Queremos que essa probabilidade seja pelo menos 0,8:

Passo 4

Vamos resolver a inequação para encontrar (1 - p)^k <= 0,2 . Primeiro, isolamos o termo com (1 - 23)^k = (13)^k <= 0,2 :
ln(13)^k <= ln(0,2)
Substituindo k cdot ln(13) <= ln(0,2) :
k >= ln(0,2)ln(13) approx -1,6094-1,0986 approx 1,465
Agora, aplicamos o logaritmo para resolver para :
Como é negativo, quando dividimos ambos os lados da inequação por ele, o sinal da desigualdade muda:

Passo 5

Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, o menor valor de que satisfaz a condição é 2.

Resposta

É necessário lançar a moeda no mínimo 2 vezes para garantir que a primeira cara ocorra com pelo menos 80% de probabilidade.

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