Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma moeda viciada onde a chance de sair cara é
. A gente vai lançar essa moeda repetidamente, de forma independente, até conseguir a primeira cara. Queremos descobrir qual é o número mínimo de lançamentos necessário para garantir que a primeira cara apareça com pelo menos 80% de probabilidade. Vamos usar a Distribuição Geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Distribuição Geométrica. Ela nos dá a probabilidade de precisar de exatamente
tentativas para obter o primeiro sucesso (no nosso caso, a primeira cara). A fórmula é:
Aqui,
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e
é a probabilidade de fracasso.
Passo 3
Mas a gente quer a probabilidade de obter pelo menos uma cara em até
lançamentos. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada da Distribuição Geométrica, que é:
Queremos que essa probabilidade seja pelo menos 0,8:
Passo 4
Vamos resolver a inequação para encontrar
. Primeiro, isolamos o termo com
:
Substituindo
:
Agora, aplicamos o logaritmo para resolver para
:
Como
é negativo, quando dividimos ambos os lados da inequação por ele, o sinal da desigualdade muda:
Passo 5
Como
precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima. Portanto, o menor valor de
que satisfaz a condição é 2.
Resposta
É necessário lançar a moeda no mínimo 2 vezes para garantir que a primeira cara ocorra com pelo menos 80% de probabilidade.