Uma estatística precisa consultar informações públicas disponibilizadas em um site governamental que é protegido com um sistema de CAPTCHA. Para isso, ela programou um algoritmo baseado em OCR (optical character recognition) que resolve corretamente os CAPTCHAS com
. Se o site tiver uma regra de bloquear o acesso após 7 ou mais tentativas erradas, para evitar ação de robô, qual a chance dela ser bloqueada?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Uma estatística quer acessar informações de um site governamental que usa CAPTCHA para proteger seus dados. Ela criou um programa que consegue resolver esses CAPTCHAs com uma taxa de acerto de
. O site tem uma regra que bloqueia o acesso se houver 7 ou mais tentativas fracassadas para evitar que robôs entrem. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a chance desse programa ser bloqueado.
Aqui vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, considerando a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que representa um “sucesso” e um “fracasso” nesse contexto. Aqui:
- Sucesso: Resolver o CAPTCHA corretamente. A probabilidade de sucesso é
. - Fracasso: Não conseguir resolver o CAPTCHA. A probabilidade de fracasso é
.
Queremos saber a probabilidade de ter 7 ou mais fracassos consecutivos, o que levaria ao bloqueio.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 7 fracassos seguidos. Cada tentativa é independente, então multiplicamos as probabilidades:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Para converter essa probabilidade em porcentagem, multiplicamos por 100:
Resposta
A chance da estatística ser bloqueada pelo site é de aproximadamente 0,78%.
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Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 de probabilidade.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
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pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
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Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
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Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine: b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R
. Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de
em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de
; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: a) a probabilidade do custo ser exatamente
;