Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento
com probabilidade
ou não ocorra
, ou seja, ocorre
com probabilidade
. Repetimos o experimento de forma independente até que o evento
ocorra pela primeira vez. Seja
número de repetições até que se obtenha
pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
não ocorre, ocorrendo na
-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória
que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela
vez, determine:
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda viciada onde a chance de dar cara é
. A ideia é descobrir quantos lançamentos, em média, vão ser necessários até sair a primeira cara, e também entender a probabilidade de isso acontecer em exatamente
lançamentos. Para isso, vamos usar a distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a distribuição geométrica. Ela nos diz a probabilidade de precisarmos de exatamente
tentativas para obter o primeiro sucesso (nesse caso, uma cara). A fórmula é:
Aqui,
é a probabilidade de dar “não cara” nos
primeiros lançamentos, e
é a probabilidade de dar “cara” no
-ésimo lançamento.
Passo 3
Aplicando os valores do nosso problema, onde
, temos:
Isso significa que a probabilidade de conseguir a primeira cara no
-ésimo lançamento é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a esperança matemática
, que nos dá o valor médio esperado de lançamentos para obter a primeira cara. A fórmula da esperança para a distribuição geométrica é:
Substituindo
:
Então, em média, serão necessários 1,5 lançamentos para sair a primeira cara.
Passo 5
Por último, vamos calcular a variância
, que nos diz o quanto os resultados podem variar em torno da média. A fórmula é:
Substituindo
:
Então, a variância é 0,75, o que indica a dispersão dos lançamentos em torno da média.
Resposta
A probabilidade de precisar de exatamente
lançamentos para obter a primeira cara é
. A expectativa é
lançamentos e a variância é
.
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Determine a média e a variância da distribuição amostral das médias;
Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória
que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a.
é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
. Logo,
representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
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e denotamos da seguinte maneira:
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. Logo,
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