Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento com probabilidade ou não ocorra , ou seja, ocorre com probabilidade . Repetimos o experimento de forma independente até que o evento ocorra pela primeira vez. Seja número de repetições até que se obtenha pela primeira vez. Então a função de probabilidade de é dada por
pois se , nas repetições não ocorre, ocorrendo na -ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória segue uma distribuição geométrica com parâmetro e denotamos da seguinte maneira: . Além disso, pode-se mostrar que e . A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é . Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela vez, determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda viciada onde a chance de dar cara é . A ideia é descobrir quantos lançamentos, em média, vão ser necessários até sair a primeira cara, e também entender a probabilidade de isso acontecer em exatamente lançamentos. Para isso, vamos usar a distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a distribuição geométrica. Ela nos diz a probabilidade de precisarmos de exatamente tentativas para obter o primeiro sucesso (nesse caso, uma cara). A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade de dar “não cara” nos primeiros lançamentos, e é a probabilidade de dar “cara” no -ésimo lançamento.

Passo 3

Aplicando os valores do nosso problema, onde , temos:
Isso significa que a probabilidade de conseguir a primeira cara no -ésimo lançamento é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a esperança matemática , que nos dá o valor médio esperado de lançamentos para obter a primeira cara. A fórmula da esperança para a distribuição geométrica é:
Substituindo :
Então, em média, serão necessários 1,5 lançamentos para sair a primeira cara.

Passo 5

Por último, vamos calcular a variância , que nos diz o quanto os resultados podem variar em torno da média. A fórmula é:
Substituindo :
Então, a variância é 0,75, o que indica a dispersão dos lançamentos em torno da média.

Resposta

A probabilidade de precisar de exatamente lançamentos para obter a primeira cara é . A expectativa é lançamentos e a variância é .

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