Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre A^c com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez. Seja X= número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=(1-p)^k-1 cdot p, k=1,2,3, ldots
pois se X=k, nas k-1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos da seguinte maneira: X sim G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=1 / p e Var(X)= (1-p) / p^2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p=2 / 3. Suponha que essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara pela 1^a vez, determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda viciada onde a chance de dar cara é . A ideia é descobrir quantos lançamentos, em média, vão ser necessários até sair a primeira cara, e também entender a probabilidade de isso acontecer em exatamente lançamentos. Para isso, vamos usar a distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a distribuição geométrica. Ela nos diz a probabilidade de precisarmos de exatamente P(X = k) = (1 - p)^k - 1 cdot p tentativas para obter o primeiro sucesso (nesse caso, uma cara). A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade de dar “não cara” nos primeiros lançamentos, e é a probabilidade de dar “cara” no -ésimo lançamento.

Passo 3

Aplicando os valores do nosso problema, onde P(X = k) = (1 - 23)^k - 1 cdot 23 = (13)^k - 1 cdot 23 , temos:
Isso significa que a probabilidade de conseguir a primeira cara no -ésimo lançamento é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a esperança matemática E(X) = 1p , que nos dá o valor médio esperado de lançamentos para obter a primeira cara. A fórmula da esperança para a distribuição geométrica é:
E(X) = 123 = 32 = 1,5
Substituindo :
Então, em média, serão necessários 1,5 lançamentos para sair a primeira cara.

Passo 5

Por último, vamos calcular a variância Var(X) = 1 - pp^2 , que nos diz o quanto os resultados podem variar em torno da média. A fórmula é:
Var(X) = 1 - 23(23)^2 = 1349 = 13 cdot 94 = 34 = 0,75
Substituindo :
Então, a variância é 0,75, o que indica a dispersão dos lançamentos em torno da média.

Resposta

A probabilidade de precisar de exatamente lançamentos para obter a primeira cara é . A expectativa é lançamentos e a variância é .

Exercícios relacionados