Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória
que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a.
é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
. Logo,
representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde, em média, 6 clientes param no posto de gasolina por hora para encher o tanque. A gente vai usar a Distribuição de Poisson para encontrar o valor esperado (E(X)), a variância (Var(X)) e o desvio padrão dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, espaço ou volume, quando esses eventos acontecem de forma independente e com uma taxa média conhecida.
A função de probabilidade da Poisson é dada por:
Aqui,
é a taxa média de ocorrência dos eventos.
Passo 3
No nosso caso, o número médio de clientes por hora é
. Isso significa que a distribuição que estamos lidando é
.
Passo 4
Uma das propriedades legais da Distribuição de Poisson é que o valor esperado (E(X)) e a variância (Var(X)) são iguais e ambos são iguais a
. Ou seja:
Passo 5
Então, substituindo
:
Passo 6
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Então:
Resposta
O valor esperado é
, a variância é
e o desvio padrão é aproximadamente
.