Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória X que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
P(X=k)=e^-lambda cdot lambda^kk!, k=0,1,2, ldots
Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda e denotamos da seguinte maneira: X sim Poisson(lambda). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=Var(X)=lambda. Logo, lambda representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde, em média, 6 clientes param no posto de gasolina por hora para encher o tanque. A gente vai usar a Distribuição de Poisson para encontrar o valor esperado (E(X)), a variância (Var(X)) e o desvio padrão dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo, espaço ou volume, quando esses eventos acontecem de forma independente e com uma taxa média conhecida.
A função de probabilidade da Poisson é dada por:
P(X=k)=e^-lambda cdot lambda^kk!, k=0,1,2, ldots
Aqui, lambda é a taxa média de ocorrência dos eventos.

Passo 3

No nosso caso, o número médio de clientes por hora é lambda = 6. Isso significa que a distribuição que estamos lidando é X sim Poisson(6).

Passo 4

Uma das propriedades legais da Distribuição de Poisson é que o valor esperado (E(X)) e a variância (Var(X)) são iguais e ambos são iguais a lambda. Ou seja:
E(X) = lambda e Var(X) = lambda

Passo 5

Então, substituindo lambda = 6:
E(X) = 6 e Var(X) = 6

Passo 6

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Então:
Desvio padrão = raizVar(X) = raiz6 approx 2,45 ã

Resposta

O valor esperado é 6, a variância é 6 e o desvio padrão é aproximadamente 2,45.

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