Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória
que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a.
é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
. Logo,
representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
Passo 1
Então, temos um problema que envolve a Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo. No caso, queremos saber a probabilidade de exatamente 3 clientes pararem em um posto de combustível em 1 hora, sabendo que, em média, 6 clientes param por hora. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de λ (lambda), que na Distribuição de Poisson representa a média de ocorrências no intervalo considerado. Aqui, λ = 6 clientes por hora.
Passo 3
A fórmula da probabilidade de exatamente k eventos acontecerem é:
Onde:
-
é a base do logaritmo natural (~2.71828), -
é a média de ocorrências, -
é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade, -
é o fatorial de k.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Calculando os componentes:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores:
Resposta
A probabilidade de exatamente 3 clientes pararem no posto de combustível em 1 hora é aproximadamente 8,93%.
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com probabilidade
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, ou seja, ocorre
com probabilidade
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pela primeira vez. Então a função de probabilidade de
é dada por
pois se
, nas
repetições
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-ésima. Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição geométrica com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
e
. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
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