Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória X que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
P(X=k)=e^-lambda cdot lambda^kk!, k=0,1,2, ldots
Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda e denotamos da seguinte maneira: X sim Poisson(lambda). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=Var(X)=lambda. Logo, lambda representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina. Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?

Passo 1

Então, temos um problema que envolve a Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo de tempo fixo. No caso, queremos saber a probabilidade de exatamente 3 clientes pararem em um posto de combustível em 1 hora, sabendo que, em média, 6 clientes param por hora. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de λ (lambda), que na Distribuição de Poisson representa a média de ocorrências no intervalo considerado. Aqui, λ = 6 clientes por hora.

Passo 3

A fórmula da probabilidade de exatamente k eventos acontecerem é:
P(X=k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde:
  • é a base do logaritmo natural (~2.71828),
  • é a média de ocorrências,
  • é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
  • é o fatorial de k.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(X=3) = e^-6 cdot 6^33!

Passo 5

Calculando os componentes:

Passo 6

Agora, substituímos esses valores:
P(X=3) = 0,00247875 cdot 2166 = 0,535956 approx 0,08932

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 clientes pararem no posto de combustível em 1 hora é aproximadamente 8,93%.

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