Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R . Se o experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de em virtude de serem necessárias algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa qualquer é de ; se os ensaios forem independentes e se o experimento prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine: c) a probabilidade do custo ser maior do que ;

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo! A gente tem um experimento que custa R$ 1000 por tentativa. Se a tentativa falhar, ainda precisamos gastar mais R$ 300 para fazer umas mudanças antes de tentar de novo. A chance de ter sucesso em cada tentativa é de 20%. Os ensaios são independentes, ou seja, o resultado de um não afeta o outro, e a gente continua tentando até conseguir o primeiro sucesso. A pergunta aqui é: qual a probabilidade de o custo total ser maior que R$ 2300?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o número de tentativas afeta o custo total. Cada tentativa custa R$ 1000, e se falhar, adicionamos R$ 300 antes de tentar de novo. Vamos chamar o número de tentativas até o primeiro sucesso de N. Como a probabilidade de sucesso é de 20%, N segue uma distribuição geométrica.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o custo total com o número de tentativas N. A primeira tentativa sempre custa R$ 1000. Se falhar, cada tentativa adicional envolve R$ 1000 mais R$ 300 de alteração, totalizando R$ 1300 por tentativa extra. Então, a fórmula para o custo total fica:

Passo 4

Queremos saber quando esse custo total é maior que R$ 2300. Vamos montar a inequação:

Passo 5

Vamos resolver a inequação para encontrar o valor de N:
Isso significa que o custo será maior que R$ 2300 se forem necessárias mais de 2 tentativas.

Passo 6

Agora, precisamos calcular a probabilidade de N > 2, ou seja, que falhem as duas primeiras tentativas. Como cada tentativa é independente e a probabilidade de falha é de 80% (já que a chance de sucesso é 20%), a probabilidade é:

Resposta

A probabilidade do custo ser maior que R$ 2300,00 é de 64%.

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