A distribuição de probabilidade de X , o número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético em rolos contínuos de largura igual, é dada por:
|l|l|l|l|l|l| hline$X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline$P(X)$ & 0,41 & 0,37 & 0,16 & 0,05 & 0,01 hline 0 1 2 3 4
0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
Determine a variância e o desvio padrão do número de imperfeições.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos a distribuição de probabilidade de , que representa o número de imperfeições por dez metros de um tecido sintético. Queremos encontrar a variância e o desvio padrão desse número de imperfeições. Para isso, precisamos entender conceitos básicos de probabilidade, como valor esperado (média) e como calcular a variância e o desvio padrão a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor esperado de E(X) = sumi xi cdot P(xi) , que é basicamente a média ponderada dos possíveis valores de E(X) = 0 cdot 0,41 + 1 cdot 0,37 + 2 cdot 0,16 + 3 cdot 0,05 + 4 cdot 0,01 com suas respectivas probabilidades. A fórmula para o valor esperado é:
E(X) = 0 + 0,37 + 0,32 + 0,15 + 0,04 = 0,88
Vamos calcular isso usando os valores da tabela:
Fazendo as contas:
Então, o valor esperado é 0,88.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de E(X^2) = sumi xi^2 cdot P(xi) , que é necessário para encontrar a variância. A fórmula é:
E(X^2) = 0^2 cdot 0,41 + 1^2 cdot 0,37 + 2^2 cdot 0,16 + 3^2 cdot 0,05 + 4^2 cdot 0,01
Vamos calcular:
E(X^2) = 0 + 0,37 + 0,64 + 0,45 + 0,16 = 1,62
Fazendo as contas:
Então, é 1,62.

Passo 4

Com os valores de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 e Var(X) = 1,62 - (0,88)^2 = 1,62 - 0,7744 = 0,8456 em mãos, podemos calcular a variância usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Portanto, a variância é 0,8456.

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. A fórmula é:
sigma = raizVar(X)
Calculando:
sigma = raiz0,8456 approx 0,9196
Então, o desvio padrão é aproximadamente 0,9196.

Resposta

A variância do número de imperfeições é 0,8456 e o desvio padrão é aproximadamente 0,9196.

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